逆问题与可辨识性

逆问题从可观察的结果反推产生结果的原因。测得投影强度后恢复内部密度、看到楼梯磨损后推测人流、根据价格和销量估计需求弹性，都是逆问题。它们与从参数计算结果的正问题方向相反：正问题已知模型参数 $\theta$，算出观测 $y=F(\theta )$；逆问题拿到 $y$，寻找可能的 $\theta$。逆运算能否做、结果是否唯一、对误差是否敏感，是三个不同的问题。

两个读数能否分清两个参数

假设容器里有两种物质，含量分别为 $a,b$。一种传感器只测到总量 $y_1=a+b=5$。所有满足 $a+b=5$ 的非负数对都是候选答案；仅凭这一个读数，不能断言 $a=3,b=2$。即使把同一传感器重复读一百次，测量噪声会减小，但没有新的区分信息。

再加一个响应不同的传感器，得到 $y_2=a-b=1$。两条直线的交点才确定： $$\{\begin{array}{c}a+b=5,\\ a-b=1\end{array}⟹a=3,b=2.$$ 这里的关键不是读数由一变二，而是第二个读数对两种物质的作用方向不同。若第二个传感器只会给 $2a+2b=10$，它虽然增添了一行数据，却没有增加独立的信息。

只有响应方向独立的第二种测量，才把一整条候选参数线收缩为一个交点。

可辨识性的定义

给定允许的参数集合 $\Theta$ 和理想的无噪声前向映射 $F:\Theta \to 𝒴$。如果 $F({\theta }_1)=F({\theta }_2)$ 必然推出 ${\theta }_1={\theta }_2$，也就是 $F$ 在 $\Theta$ 上单射，便称参数在此模型及观测设计下全局可辨识。若只在真实参数附近成立，是局部可辨识。如果存在不同参数产生完全相同的观测，那么再好的数值优化器也无法从这些观测中确定唯一参数。

可辨识性依赖模型、参数范围与观测方式。例如只观测 $y={\theta }^2$，允许 $\theta \in ℝ$ 时，$2$ 与 $-2$ 无法区分；若物理机制事先保证 $\theta \ge 0$，同一观测在该参数域上就能唯一确定 $\theta$。因此“数据量够不够”必须连同实验条件一起问。

线性模型中的判别定理

把 $m$ 次观测写成 $y=A\theta +\epsilon$，其中 $\theta \in {ℝ}^p$，$A$ 的每一行说明一次测量怎样混合各参数。先忽略误差。此时 $\theta \mapsto A\theta$ 全局可辨识，当且仅当 $A$ 的列满秩，即 $\mathrm{rank}(A)=p$。

证明。 若列满秩，则齐次方程 $Ah=0$ 只有 $h=0$。由 $A{\theta }_1=A{\theta }_2$ 得 $A({\theta }_1-{\theta }_2)=0$，故两参数相等。反过来，若列不满秩，存在非零 $h$ 满足 $Ah=0$；那么 $A(\theta +h)=A\theta$，至少两组参数无法区分。证毕。

这个证明同时说明，往数据表里加一千行重复的 $(1,1)$ 测量，并不能把两个未知数分开。对非线性 $F$，雅可比矩阵在某点列满秩通常给出附近可辨识的局部线索，但不能直接保证整个参数域上唯一；对称性和多个相隔很远的解仍可能存在。

唯一不等于可靠

设两个传感器的响应非常接近： $$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1.01\end{array}\right)}}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right).$$ 行列式为 $0.01\ne 0$，所以无噪声时可以唯一反解。若真实参数为 $(a,b)=(3,2)$，读数为 $(5,5.02)$。现在仅把第二个读数从 $5.02$ 扰动到 $5.03$，相减可得 $0.01b=0.03$，于是反解变成 $(a,b)=(2,3)$：读数改变 $0.01$，参数各改变 $1$。这种误差放大称为病态，不能由“矩阵可逆”四个字排除。

在一般线性模型中，奇异值分解把 $A$ 的作用分为若干独立方向；最小奇异值很小时，该方向的噪声会被放大。条件数度量最大与最小伸缩尺度之比，但它还受参数单位和缩放影响；比较不同变量的条件数前，先统一量纲或做有意义的标准化。可辨识性回答理论上能否唯一，稳定性回答有限精度下能否可靠估计。

从题目到可检验的模型

逆问题的第一步应列出哪些量真正被测到、哪些是待估参数、哪些只是为计算方便引入的隐变量。第二步写出前向模型 $F$ 并检查单位、边界条件和仪器分辨率；第三步在拟议的观测设计下检验唯一性与灵敏度，再谈优化算法。若一组参数无论如何都无法区分，补一次响应方向不同的实验往往比调高优化迭代次数更有用。

实际观测含噪声时，不能要求 $F(\theta )=y$ 精确成立。可先最小化按测量精度加权的残差，例如 $$\underset{\theta \in \Theta }{min}\sum _{i=1}^m\frac{(y_i-F_i(\theta ){)}^2}{{\sigma }_i^2},$$ 其中 ${\sigma }_i$ 是第 $i$ 次测量的标准差估计。随后用留出的测量或重复实验检查预测，并报告参数区间，而不只给一个看似精确的小数。若小奇异值导致估计剧烈波动，可进一步使用正则化；正则化会引入额外假设，不能凭空创造观测中没有的信息。

参考资料与相关词条

• MIT 18.327《Computational Inverse Problems》，逆问题、离散化与正则化课程资料。
• 先修：线性方程组与高斯消元、矩阵的秩、最小二乘法；进阶：奇异值分解、条件数、正则化与病态逆问题。