留数定理

留数定理（residue theorem）把一条闭曲线的积分化为曲线内部各个孤立奇点的局部留数之和。它不要求求出被积函数的全局原函数，尤其适合含有多个极点的围道积分，以及能通过闭合路径处理的实反常积分。

先采用最常用的简单闭曲线版本。设 $\gamma$ 为逆时针、分段光滑的简单闭曲线，$f$ 在曲线及其内部的一个开邻域内，除有限个内部孤立奇点 $a_1,\dots ,a_m$ 外全纯，曲线上没有奇点。则 $${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{j=1}^m\mathrm{Res}(f,a_j).$$ 如果曲线顺时针绕行，结果变号。自交或多次绕行时需要加入各奇点的绕数，并核对相应区域条件，不能机械地一律计一次。

从区域边界拆成小圆

在每个奇点周围取互不相交、完全位于内部的小圆盘。除去这些圆盘，剩余区域里函数全纯。由柯西积分定理，其正向边界积分为零：外曲线取逆时针，内孔边界取顺时针。

将每个内边界改写成逆时针积分后，得到 $${\oint }_{\gamma }f(z)dz=\sum _j{\oint }_{|z-a_j|=r_j}f(z)dz.$$ 若需要，可用切口把有孔区域分成可用柯西定理的部分；公共切口两侧反向经过而相消。每个小圆积分由洛朗级数只留下负一次幂项，等于 $2\pi i$ 乘以该点留数。将这些局部贡献相加便得到定理。

两个奇点的指数算例

取 $f(z)=e^z/[z(z-1)]$，沿逆时针圆 $|z|=2$ 积分。零和一都是内部简单极点，留数分别为 $$\begin{array}{cc}\mathrm{Res}(f,0)& =-1,\\ \mathrm{Res}(f,1)& =e.\end{array}$$ 所以 $${\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}dz=2\pi i(e-1).$$ 可先作分式分解 $1/[z(z-1)]=-1/z+1/(z-1)$，再分别使用柯西公式，得到同一结果。

变式。 把路径半径改成 $1/2$，只围住零，积分改为 $-2\pi i$。若半径取一，路径经过另一极点，普通围道积分已经不满足定理条件；不能把边界极点按“半个留数”自动处理。

计算一个实反常积分

考虑 $$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(x^2+1{)}^2}.$$ 被积函数在实轴连续，尾部按 $x^{-4}$ 衰减，因此反常积分收敛。将实区间 $[-R,R]$ 用上半圆弧闭合，其中 $R>1$。复函数在上半平面仅有二阶极点 $i$。

计算该点留数：提出 $(z-i{)}^{-2}$ 后，剩余函数为 $G(z)=(z+i{)}^{-2}$，所以 $$\begin{array}{cc}\mathrm{Res}(f,i)& =G^{\prime }(i)\\ & =-2(2i{)}^{-3}=\frac{1}{4i}.\end{array}$$ 因此闭合路径积分为 $2\pi i/(4i)=\pi /2$。

闭合轮廓的方向决定留数符号。要把闭合积分等同于实轴积分，还须证明大圆弧贡献消失。

在大圆弧上，$|z^2+1|\ge R^2-1$，弧长为 $\pi R$，故 $$\left|{\int }_{\text{圆弧}}\frac{dz}{(z^2+1{)}^2}\right|\le \frac{\pi R}{(R^2-1{)}^2}\to 0.$$ 令半径趋于无穷，实区间积分趋于 $I$，便得到 $I=\pi /2$。留数只是闭合积分的一部分；圆弧估计和原实积分收敛性不能省去。

路径选择的限制

闭合方向要使新增路径上的积分可控。若被积函数含指数，某个半平面可能增长而不是衰减；若实轴本身有极点，普通反常积分、柯西主值和绕开极点的积分是不同对象。还需分别处理分支切线及其两侧值。留数定理提供局部贡献的相加法，并不会自动消除这些边界问题。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.3（留数定理及局部留数计算），§4.7（区域边界）。