直线的方程

直线的方程把“经过哪些点”写成坐标条件。给定一个点和一个方向，或给定两个不同的点，就能确定平面上的唯一一条直线；不同形式适合不同数据，但表示的点集应当相同。

点斜式从固定变化率推出

已知直线经过 $A = (2, - 1)$ ，斜率 $3 / 2$ 。任取线上的点 $P = (x, y)$ ，从 $A$ 到 $P$ 的纵向增量应是横向增量的 $3 / 2$ 倍： $y + 1 = \frac{3}{2} (x - 2), 2 y + 2 = 3 x - 6, 3 x - 2 y - 8 = 0.$ 最后一个式子也容许 $x = 2$ 的已知点，不必先把 $(y + 1) / (x - 2)$ 写出来再冒除以零的风险。一般点斜式为 $y - y_{1} = k (x - x_{1})$ ，适用于斜率存在时。

两点式与竖直线

若两已知点 $A = (x_{1}, y_{1}), B = (x_{2}, y_{2})$ 满足 $x_{1} \neq x_{2}$ ，把斜率 $(y_{2} - y_{1}) / (x_{2} - x_{1})$ 代入点斜式，可写成 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) .$ 这种交叉相乘形式连水平线也能表示。若 $x_{1} = x_{2}$ 且两点不同，直线为 $x = x_{1}$ ；此时不能使用斜率或把原式中的 $x_{2} - x_{1}$ 放在分母。若两点完全相同，信息不足以确定唯一的直线。

一般式把竖直与水平统一起来

一般式 $A x + B y + C = 0$ 要求 $(A, B) \neq (0, 0)$ 。向量 $n = (A, B)$ 垂直于直线， $d = (B, - A)$ 沿直线；因为 $n \cdot d = A B - A B = 0$ 。例如 $3 x - 2 y - 8 = 0$ 的法向量为 $(3, - 2)$ ，方向向量可取 $(2, 3)$ ，斜率于是 $3 / 2$ 。当 $B = 0$ 时它是竖直线，当 $A = 0$ 时它是水平线。

截距式的适用范围

若直线分别在两坐标轴的非零位置 $(a, 0)$ 、 $(0, b)$ 相交，代入两点式后可整理成截距式 $x / a + y / b = 1$ 。它直接显示两段有符号的截距，却不能表示经过原点的直线，也不能在截距为零时使用。上例 $3 x - 2 y - 8 = 0$ 的横截距为 $8 / 3$ 、纵截距为 $- 4$ ，所以也可写 $x / (8 / 3) + y / (- 4) = 1$ 。把式子乘以 8，便回到 $3 x - 2 y = 8$ 。截距在轴的负半边时是负数，不等于一段负的几何长度。

直线经过点A二负一，沿方向向量二三延伸，法向量三负二与直线垂直 — 方向 (2,3) 决定斜率 3/2；法向量 (3,−2) 给出同一条线的隐式方程。

两条一般式直线 $A_{i} x + B_{i} y + C_{i} = 0$ 的方向平行，当且仅当 $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0$ ；方向垂直，当且仅当 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 。平行判定还包括重合情形，需比较常数项才可分开。例如 $x + y = 1$ 与 $2 x + 2 y = 3$ 法向量成比例，但不重合。

复算。过 $(1, 2)$ 与 $(3, - 2)$ 的直线有 $Δ x = 2$ 、 $Δ y = - 4$ ，斜率 $- 2$ 。点斜式 $y - 2 = - 2 (x - 1)$ 化为 $2 x + y - 4 = 0$ ；代入两端点，左边都为零。

参考资料

OpenStax，College Algebra 2e，§4.1：直线斜率与方程形式。
先修：直线的倾斜角与斜率；后续：直线的交点与距离、圆的方程。