圆的方程

圆是平面上到一个固定点距离等于正数 $r$ 的所有点。固定点为圆心， $r$ 为半径。这个距离定义既能解释方程中的平方项，也能区分真正的圆、单点与无实点的方程。

标准方程来自距离定义

设圆心 $C = (a, b)$ ，动点 $P = (x, y)$ 。由平面距离公式， $C P = \sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$ 。因距离与半径非负， $C P = r$ 等价于 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}, r > 0.$ 例如圆心 $(2, - 3)$ 、半径 5 的圆为 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ 。点 $(5, 1)$ 与圆心的坐标差为 $(3, 4)$ ，长度 5，确实在圆上；点 $(2, 2)$ 也在圆上。圆心本身到圆心距离为零，不满足半径 5 的圆方程。

一般方程与配方

展开标准式可得 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，其中 $D = - 2 a$ 、 $E = - 2 b$ 、 $F = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ 。反过来，分别对 $x, y$ 配方： ${(x + \frac{D}{2})}^{2} + {(y + \frac{E}{2})}^{2} = \frac{D^{2} + E^{2}}{4} - F .$ 只有右边严格大于零时，实点集才是圆；等于零时只有圆心一点，小于零时没有实点。以 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 为例，配方得 $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ ，与上例是同一个圆。

三个点能否确定圆

将三个给定点分别代入一般方程，可求 $D, E, F$ 。例如 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ 、 $(0, 6)$ 在同一圆上。第一点给出 $F = 0$ ；第二点给出 $16 + 4 D = 0$ ，故 $D = - 4$ ；第三点给出 $36 + 6 E = 0$ ，故 $E = - 6$ 。圆为 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ ，半径 $\sqrt{13}$ 。三个点不共线时，垂直平分线相交于唯一圆心；若三点共线且互异，就不存在经过三点的有限半径圆。重复点也不足以指定唯一圆。

三点零零、四零、零六组成直角三角形，直角边中垂线在圆心二三相交 — 两条弦的中垂线交于 (2,3)；到三个点的距离均为 √13。

已知切点时的切线

若 $T = (x_{0}, y_{0})$ 在圆 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 上，半径向量 $C T = (x_{0} - a, y_{0} - b)$ 与切线垂直。因此过 $T$ 的切线方程是 $(x_{0} - a) (x - x_{0}) + (y_{0} - b) (y - y_{0}) = 0.$ 对前面的圆， $T = (5, 1)$ 在圆上， $C T = (3, 4)$ ，所以切线是 $3 (x - 5) + 4 (y - 1) = 0$ ，即 $3 x + 4 y - 19 = 0$ 。圆心到这条直线的距离为 $| 3 \cdot 2 + 4 (- 3) - 19 | / 5 = 5$ ，正好等于半径；从代数和几何两边都可确认“相切”。如果给出的 $T$ 不在圆上，半径向量仍可写出，但所谓“该点处的切线”并不存在，必须先代入原圆方程检查。

参考资料

OpenStax，College Algebra，§2.1：平面距离与圆的坐标表示。
先修：勾股定理、直线的方程；后续：直线与圆、圆与圆的位置关系。