矩母函数

随机变量 $X$ 的矩母函数是 $M_X(t)=E(e^{tX})$，前提是该期望在包含 $t=0$ 的一个开区间内有限。若这个条件成立，函数在零点的导数给原始矩：$M_X^{(k)}(0)=E(X^k)$。仅有每一阶矩都有限仍不必然保证矩母函数在零点附近存在；使用前应检查指数期望。

一次伯努利试验的展开

令 $P(X=1)=p,P(X=0)=1-p$。按定义 $M_X(t)=1-p+p{e}^t$，所以 $M{\text{'}}_X(0)=p$、$M^{\prime }{\text{'}}_X(0)=p$，从而 $\mathrm{Var}(X)=M^{\prime }{\text{'}}_X(0)-[M{\text{'}}_X(0){]}^2=p(1-p)$。取 $p=1/4$，均值 $1/4$，方差 $3/16$，可以直接由两个取值复算。

独立和与对数矩母函数

若 $X,Y$ 独立，$M_{X+Y}(t)=E(e^{tX}{e}^{tY})=M_X(t)M_Y(t)$，在双方都有限的区间内成立。令 $K_X(t)=\log M_X(t)$，乘法便变成 $K_{X+Y}=K_X+K_Y$；一阶导数 $K{\text{'}}_X(0)=E(X)$，二阶导数 $$K^{\prime }{\text{'}}_X(0)=\frac{M^{\prime }{\text{'}}_X(0)}{M_X(0)}-{\left[\frac{M{\text{'}}_X(0)}{M_X(0)}\right]}^2=\mathrm{Var}(X),$$ 因为 $M_X(0)=1$。这解释独立和的均值、方差分别相加的结构。

正态变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的矩母函数为 $\exp (\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2)$；将正态密度乘 $e^{tx}$ 后配方，指数成为 $-(x-\mu -{\sigma }^{2}t{)}^2/(2{\sigma }^2)+\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2$，前一部分积分为 1，便得到公式。若分布尾部太重，使 $E(e^{tX})$ 在任意正 $t$ 都无穷大，就不能用这一工具概括其矩；可以考虑特征函数或直接研究尾部。

参考资料与相关词条

• MIT 6.436J：矩母函数讲义。
• 相关：期望、方差与标准差、概率母函数、正态分布。