概率母函数

概率母函数把非负整数值随机变量 $X$ 的全部概率 $p_{k} = P (X = k)$ 收进一个函数： $G_{X} (s) = E (s^{X}) = \sum_{k = 0}^{\infty} p_{k} s^{k}, | s | \leq 1.$ 因为系数非负且和为 1，这个级数在 $| s | \leq 1$ 绝对收敛， $G_{X} (1) = 1$ 。它适合计数问题；若 $X$ 可以取负整数，须另定双边生成函数的收敛范围。

二项分布的三个读数

一次成功概率为 $p$ 的试验，计数 $B \in {0, 1}$ 有 $G_{B} (s) = (1 - p) + p s$ 。 $n$ 次独立试验的总成功数 $X = B_{1} + \dots + B_{n}$ ，由独立性使 $E (s^{X}) = \prod_{i} E (s^{B_{i}})$ ，于是 $G_{X} (s) = (1 - p + p s)^{n}$ 。展开 $s^{k}$ 的系数就是 $(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ，这重新得到二项分布的概率公式。

在 $s = 0$ 读到 $G_{X} (0) = P (X = 0) = (1 - p)^{n}$ ；在 $s = 1$ 左侧求导且均值有限时， $G'_{X} (1) = E (X) = n p$ ；再求导有 $G^{'}'_{X} (1) = E [X (X - 1)] = n (n - 1) p^{2}$ 。由 $X^{2} = X (X - 1) + X$ ，得 $Var (X) = n p (1 - p)$ 。例如 $n = 3, p = 1 / 2$ ， $G (s) = (1 + s)^{3} / 8$ ；零次成功概率 $1 / 8$ ，均值 $3 / 2$ ，方差 $3 / 4$ 。

独立计数之和

若 $X, Y$ 独立且都非负整数值， $G_{X + Y} (s) = G_{X} (s) G_{Y} (s)$ ；这是概率卷积变成函数乘法。泊松分布的 $G (s) = e^{λ (s - 1)}$ ，两个独立泊松计数相加时，母函数相乘得到 $e^{(λ_{1} + λ_{2}) (s - 1)}$ ，所以仍为泊松分布，参数相加。若计数相关，直接相乘会丢掉依赖结构；必须改用联合母函数。与矩母函数的关系是 $M_{X} (t) = G_{X} (e^{t})$ ，但右边对 $t > 0$ 未必有限，不能因 $G$ 在单位圆内存在就断言矩母函数在零点附近存在。

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