矩阵转置

矩阵转置把行和列交换。若 $A=(a_{ij})$ 为 $m\times n$ 矩阵，转置 $A^T$ 为 $n\times m$ 矩阵，且 $(A^T{)}_{ji}=a_{ij}$。

转置怎样改变计算

例如 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$，则 $A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$。对向量 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$ 与 $y=(y_1,y_2{)}^T$，$(Ax{)}^{T}y$ 是两个二维向量的内积。把乘法展开并重新分组， $$\begin{array}{cc}(Ax{)}^{T}y& =\sum _i\sum _j{a}_{ij}{x}_j{y}_i\\ & =\sum _j{x}_j\left(\sum _i{a}_{ij}{y}_i\right)\\ & =x^T(A^{T}y).\end{array}$$ 因此 $A^T$ 将输出空间里的权重拉回输入空间。在最小二乘法中，残差 $Ax-b$ 与每一列正交，正可写为 $A^T(Ax-b)=0$。

乘积转置要颠倒次序

若 $AB$ 有定义，则 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$。按元素检查：左边的 $(j,i)$ 项是 $\sum _k{a}_{ik}{b}_{kj}$；右边同一项是 $\sum _k(B^T{)}_{jk}(A^T{)}_{ki}=\sum _k{b}_{kj}{a}_{ik}$，两者相等。若误写成 $A^T{B}^T$，不仅一般不等，矩阵维度有时根本对不上。

转置两次回到原矩阵。方阵若满足 $A^T=A$，称为对称矩阵；它的二次型 $x^{T}Ax$ 与正定矩阵相连。若实方阵 $Q$ 满足 $Q^{T}Q=I$，则是正交矩阵，其逆矩阵恰为转置。转置只是交换指标，本身不会自动使矩阵可逆。

参考资料

• MIT OpenCourseWare 18.06SC：Transposes 相关讲义：转置、内积与对称矩阵。
• MIT OpenCourseWare 18.06：转置与正交相关课程：转置在线性代数中的用法。