空间中的距离与夹角

空间中的距离与夹角都可以从内积和正交投影得到。先说明“从哪里到哪里”或“哪两条方向”，再选择公式；同一张立体图里的线线、线面、面面角并非同一个角。

点到平面的垂线长度

平面经过 $P_{0}$ 、法向量为非零的 $n$ 。点 $Q$ 到平面的位移 $w = Q - P_{0}$ 可拆为沿法向量的分量与留在平面内的分量。只有前者贡献最短距离，因而 $d (Q, Π) = | w \cdot \frac{n}{| n |} | = \frac{| n \cdot (Q - P_{0}) |}{| n |} .$ 对平面 $2 x - y + 2 z - 3 = 0$ 和点 $Q = (1, 2, 4)$ ，分子是 $| 2 - 2 + 8 - 3 | = 5$ ，分母是 $\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = 3$ ，距离为 $5 / 3$ 。若误把 $Q = (1, 2, 1)$ 代入，分子为 $| 2 - 2 + 2 - 3 | = 1$ ，可看出距离随点改变。平面方程整体乘以非零常数后，分子分母同乘其绝对值，距离保持不变。

点到直线的垂线长度

直线 $L = P_{0} + t d$ 的方向 $d \neq 0$ 。给定点 $Q$ ，设 $w = Q - P_{0}$ 。从 $w$ 减去它沿 $d$ 的投影，剩下与直线垂直的分量： $d (Q, L) = | w - \frac{w \cdot d}{d \cdot d} d | .$ 例如直线经过原点、方向 $d = (1, 1, 0)$ ，取 $Q = (2, 0, 2)$ 。投影系数 $(w \cdot d) / (d \cdot d) = 2 / 2 = 1$ ，垂足为 $(1, 1, 0)$ ，余向量为 $(1, - 1, 2)$ ，距离 $\sqrt{6}$ 。直接量到原点会得到 $\sqrt{8}$ ，比最短距离长。

点Q到平面的斜向位移分解为面内分量和沿法向量的垂直分量，后者是最短距离 — 垂足 H 给出真正要量的 QH；斜线 QP0 只是便于分解的位移。

线线、线面与面面角

两条直线的方向向量为 $u, v \neq 0$ 。夹角通常取锐角或直角，故 $\cos θ = \frac{| u \cdot v |}{| u | | v |}, 0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .$ 绝对值把反向选取的方向向量视为同一条无向直线。直线方向为 $d$ 、平面法向量为 $n$ 时，线面角 $α$ 与方向、法向量的锐角互余，因此 $\sin α = | d \cdot n | / (| d | | n |)$ 。例如 $d = (1, 1, 1)$ 、 $n = (0, 0, 1)$ 时， $α = \arcsin (1 / \sqrt{3})$ ，不是 $\arccos (1 / \sqrt{3})$ 。

两平面的锐二面角可由各自非零法向量 $n_{1}, n_{2}$ 求得 $\cos ϕ = | n_{1} \cdot n_{2} | / (| n_{1} | | n_{2} |)$ 。若讨论的是有方向的二面角，绝对值会丢掉方向信息，需要额外声明面所朝向的一侧。图形可帮助选择向量，但角的数值来自内积及其条件。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.5：空间直线、平面与距离。
OpenStax，Calculus Volume 3，§2.3：内积与投影。
先修：空间直线与平面的向量方程、向量的内积。