空间插值与地统计

空间插值是利用已测地点的数值估计未测地点的数值；地统计进一步用空间相关结构描述估计误差。两者的输入都不只是一个数值列表：每项观测还必须有位置、坐标系、测量单位和采样时间。同一天的雨量站、同一深度的土壤样本可以尝试组成一个空间场；不同季节或不同深度的数据不能直接当作同一平面上的点。

从两个测点出发

设沿一条直线在 $x=0$ 千米测得浓度 $z_1=10$ 毫克／千克，在 $x=2$ 千米测得 $z_2=14$ 毫克／千克。要估计 $x_0=0.5$ 千米处的值，距两个测点分别为 $0.5$ 与 $1.5$ 千米。若认为近处数据更有代表性，可用距离平方的倒数作权重： $$w_1=(0.5{)}^{-2}=4,w_2=(1.5{)}^{-2}=\frac{4}{9}.$$ 加权后还要除以权重总和，才不会把数值单位弄错： $$\hat{z}(x_0)=\frac{4\cdot 10+(4/9)\cdot 14}{4+4/9}=10.4\mathrm{m}\mathrm{g}/\mathrm{k}\mathrm{g}.$$ 图中的待测点靠近数值为十的站点，所以估计值也更靠近十。这个结论来自选定的权重规则，并非测得了该点的真实浓度。

两站点的距离决定了倒距离权重。图上的位置按千米比例绘制。

反距离加权的公式与性质

对坐标 $s_i$、观测值 $z_i$，在目标位置 $s_0$ 选定邻域 $N(s_0)$ 和幂指数 $p>0$，反距离加权（IDW）写成 $$\hat{z}(s_0)=\sum _{i\in N(s_0)}{\lambda }_i(s_0)z_i,{\lambda }_i(s_0)=\frac{d(s_0,s_i{)}^{-p}}{\sum _{j\in N(s_0)}d(s_0,s_j{)}^{-p}}.$$ 所有权重非负且和为一，因此预测值位于参与计算的观测最小值与最大值之间。这一点可直接由加权平均推出：若每个 $z_i\le M$，则 $\sum _i{\lambda }_i{z}_i\le M\sum _i{\lambda }_i=M$；下界同理。目标与某测点重合、距离为零时直接返回该点观测值，不能把零代入分母。

幂指数越大，近邻影响越重；邻域半径与测点分布也会改变结果。若有一道山脊隔开两站，平面直线距离可能不代表真实的空间相关。海拔、风向或河网有明显影响时，先检查坐标与距离定义，必要时按机制分层或改用带协变量的模型。IDW 本身不产生有统计含义的预测标准误，不能把权重的离散程度冒充置信区间。

用半变异函数刻画空间相关

若把每处数值看作随机场 $Z(s)$，在局部均值近似恒定、差值方差主要依赖位置差 $h$ 的假设下，半变异函数定义为 $$\gamma (h)=\frac{1}{2}\mathrm{Var}(Z(s+h)-Z(s)).$$ 两点越接近越相似时，小距离上的 $\gamma (h)$ 通常较小。可把测点对按距离区间分组，计算经验量 $\frac{1}{2|P_h|}\sum _{(i,j)\in P_h}(z_i-z_j{)}^2$，再拟合满足协方差要求的模型。方向不同的半变异函数若差异明显，应考虑各向异性；若均值随位置系统变化，直接套恒定未知均值的模型也不妥。

普通克里金（ordinary kriging）仍用 $\hat{Z}(s_0)=\sum _i{\lambda }_{i}Z(s_i)$，但权重由空间协方差和无偏条件 $\sum _i{\lambda }_i=1$ 一起决定。若局部随机场协方差为 $C(s,t)$，已测点组成矩阵 $C_{ij}=C(s_i,s_j)$，目标协方差向量 $c_i=C(s_i,s_0)$，则最小化预测误差方差的拉格朗日一阶条件是 $$C\lambda +\mu \mathrm{𝟏}=c,{\mathrm{𝟏}}^{𝖳}\lambda =1.$$ 这组方程来自把误差方差 $C(s_0,s_0)-2{\lambda }^{𝖳}c+{\lambda }^{𝖳}C\lambda$ 对 $\lambda$ 求导，再用乘子限制权重和。由此得到的预测方差要连同协方差模型与采样假设理解；它不是“观测一定落在此范围”的无条件保证。

例如两测点的协方差矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$，目标与两测点的协方差均为三，目标自身方差为四。方程给出 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1/2,\mu =0$；若观测仍为十和十四，则预测为十二，预测误差方差为 $4-2(3)+3=1$。这里的“方差一”是在该协方差模型成立时算出的量，不能从两次观测本身验证整个模型。

选型与验收

先把原始点与研究边界画在同一正确投影下，检查坐标单位、离群值、测量误差、重复采样和空间空白。对 IDW 的幂指数、邻域范围以及克里金的半变异函数，用未参与拟合的测点比较预测与实测；若做留一法，选择参数的过程也应只用训练部分，避免用被留出的真值调参。沿道路或河道聚集采样时，普通随机留点可能高估对全新区域的预测能力，可采用空间分块或留片区验证。

误差可报均方根误差 $\sqrt{n^{-1}\sum _i({\hat{z}}_i-z_i{)}^2}$，同时看偏差、按距离分组的残差及远离测点区域的表现。需要估计超过污染阈值的区域时，插值图还应与预测不确定性和阈值附近的复测计划并列呈现。地图边缘外推、跨越物理屏障外推都比测点包围范围内插值脆弱；高分辨率网格不会自动增加原始观测的信息量。

参考资料与相关词条

• ArcGIS Pro：反距离加权原理与参数。
• ArcGIS Pro：半变异函数、克里金方程与预测误差。
• ArcGIS Pro：空间插值的留一验证。
• 相关：测量误差与误差传播、最小二乘法。