空集

空集（empty set）是不含任何元素的集合，记作 $\varnothing$ 或 $\{\}$。它不是“还没找到元素”的集合，而是已经确定没有元素。例如方程 $x^2+1=0$ 的实数解集是空集；若把论域改为复数，解集便成为 $\{i,-i\}$。集合要连同元素的论域一起读。

空集与只含空集的集合

$\varnothing$ 没有元素，而 $\{\varnothing \}$ 有一个元素，这个元素恰好是空集。因此 $|\varnothing |=0$，$|\{\varnothing \}|=1$。把容器里没有东西与容器里装着一个空容器混同，会使幂集和笛卡尔积的计数出错。

空集是任何集合 $A$ 的子集。按定义，要否定 $\varnothing \subseteq A$，就必须找出一个属于空集却不属于 $A$ 的元素；这样的元素不存在。这个证明使用全称命题在空论域上没有反例，并不声称空集“含有所有元素”。

运算中的作用

对任意集合 $A$，$A\cup \varnothing =A$，因为并集没有新增元素；$A\cap \varnothing =\varnothing$，因为不存在同时属于空集的元素。若 $A=\{1,2\}$，则 $A\setminus A=\varnothing$，但 $A\setminus \varnothing =A$。

空集只有一个。若 $E$ 和 $F$ 都没有元素，则 $E$ 中每个元素都在 $F$ 中，反向也一样；由集合相等的外延原则得到 $E=F$。因此不同问题中出现的空解集，其“空”是同一个集合，区别在于问题和论域。

参考资料

• MIT，Mathematics for Computer Science，集合章节。
• OpenStax《Contemporary Mathematics》1.2：子集与幂集。
• 继续阅读：集合、子集与真子集、幂集。