素理想

素理想把素数的整除性质推广到交换环。它是一个真理想：当两个元素的乘积落入其中时，至少有一个因子也必须落入其中。

定义和整数例子

以下 $R$ 是带单位元的交换环。理想 $𝔭⊊R$ 称为素理想，如果对所有 $a,b\in R$， $$ab\in 𝔭⟹a\in 𝔭\text{或}b\in 𝔭.$$ 必须要求 $𝔭$ 是真理想；整个环虽满足后面的蕴含式，却不称为素理想。

在整数环中，$p\mathbb{Z}$（$p$ 为素数）是素理想：如果 $p\mid ab$，欧几里得引理保证 $p\mid a$ 或 $p\mid b$。例如 $5\mathbb{Z}$ 是素理想；$6\mathbb{Z}$ 不是，因为 $2\cdot 3\in 6\mathbb{Z}$，但两个因子均不在其中。

与整环的关系

商环 $R/𝔭$ 的元素是陪集 $a+𝔭$，且 $$(a+𝔭)(b+𝔭)=ab+𝔭.$$ 所以乘积为零陪集恰当且仅当 $ab\in 𝔭$。由此逐句翻译素理想的定义得到：

命题。 $𝔭$ 是素理想，当且仅当 $R/𝔭$ 是整环。

证明。 真理想保证商环不是零环。若 $𝔭$ 素，两个陪集的乘积为零时，至少一个因子属于理想，即至少一个陪集为零，所以商环没有零因子。反过来，若商环没有零因子，从 $ab\in 𝔭$ 得两个陪集之积为零，因而 $a$ 或 $b$ 的陪集为零，即相应因子属于理想。

例如 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 是域，因此也是整环；$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中非零陪集 $2,3$ 的乘积为零，解释了上面的区别。

极大理想与素理想

在带单位元的交换环中，极大理想的商环是域。域是整环，所以每个极大理想都是素理想。反过来不总成立：$\{0\}$ 是整数环中的素理想，因为整数没有零因子；但它严格包含于真理想 $2\mathbb{Z}$ 中，所以不是极大理想。

讨论非交换环时，“素理想”和“没有零因子”的对应关系需要重新规定，不能直接沿用这里的交换环表述。素理想也不同于素元素；两者涉及不同的对象及定义。