累积量母函数

累积量母函数是随机变量的矩母函数取对数所得的函数。乘积在取对数后变成加法，因此它特别适合研究独立随机变量的和。

定义与前几个累积量

设实随机变量 $X$ 在零的某个开邻域内具有有限的矩母函数 $M_X(t)=𝔼[e^{tX}]$。定义 $$K_X(t)=\log M_X(t),{\kappa }_n=K_X^{(n)}(0).$$ 条件保证零附近的导数存在；${\kappa }_n$ 称为第 $n$ 阶累积量。

因为 $M_X(0)=1$，依次对 $\log M_X$ 求导可得 $${K_X}^{\prime }(0)={M_X}^{\prime }(0)=𝔼[X],$$ $${K_X}^{″}(0)={M_X}^{″}(0)-{M_X}^{\prime }(0{)}^2=\mathrm{Var}(X).$$ 再求一次导数，得到 ${\kappa }_3=𝔼[(X-𝔼X{)}^3]$。第四阶则为中心四阶矩减去 $3\mathrm{Var}(X{)}^2$，并不等于中心四阶矩本身。

泊松模型的计算

设 $X\sim \mathrm{Poisson}(2)$。由指数级数， $$M_X(t)=e^{-2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2e^t{)}^k}{k!}=e^{2(e^t-1)}.$$ 因此 $K_X(t)=2(e^t-1)$。对任意正整数 $n$，第 $n$ 次导数在零处均为二，故所有累积量均为二：均值与方差均为二，第三中心矩也是二。这与原点矩 $𝔼[X^3]$ 并不相同；后者为 $22$。

独立和与缩放

若 $X,Y$ 独立，且它们的矩母函数在零附近有限，则 $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$，所以 $$K_{X+Y}(t)=K_X(t)+K_Y(t).$$ 逐阶求导即得 ${\kappa }_n(X+Y)={\kappa }_n(X)+{\kappa }_n(Y)$。若 $Z=aX+b$，则 $K_Z(t)=bt+K_X(at)$；因此一阶累积量为 $a{\kappa }_1(X)+b$，而 $n\ge 2$ 时为 $a^n{\kappa }_n(X)$。

这些等式中的独立性不可省略。例如 $Y=X$ 时，$\mathrm{Var}(X+Y)=4\mathrm{Var}(X)$，一般不等于两个方差之和。某些重尾分布所有整数阶矩均有限，但每个正 $t$ 的指数矩发散，因而不能在零的开邻域内使用上述矩母函数定义；有限阶矩与零附近的指数矩是不同要求。