线性二次调节器

线性二次调节器（linear quadratic regulator，LQR）为线性动态系统选择反馈控制，使状态偏差与控制输入的加权平方代价尽可能小。它同时考虑当前误差和未来运动；“二次”指目标函数，而不是系统必须服从二次微分方程。

代价与反馈增益

考虑连续时间模型 $\dot{x}=Ax+Bu$，其中 $x\in {ℝ}^n,u\in {ℝ}^m$，无限时域代价为 $$J(u)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(x^{𝖳}Qx+u^{𝖳}Ru)\mathrm{d}t,Q=Q^{𝖳}⪰0,R=R^{𝖳}\succ 0.$$ 矩阵 $Q$ 决定不同状态误差的相对代价，$R$ 决定输入代价；物理量单位不同，要先选择一致的权重尺度。标准定理在 $(A,B)$ 可稳定、$(Q^{1/2},A)$ 可检测的条件下，给出唯一半正定稳定化解 $P$： $$A^{𝖳}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{𝖳}P+Q=0.$$ 最优反馈为 $u_{\ast }=-R^{-1}{B}^{𝖳}Px$，最优代价为 $x_0^{𝖳}P{x}_0$。这是代数黎卡提方程的控制意义；半正定 $Q$ 时，不能省掉检测条件而仍声称所有结论成立。

标量模型的完整求解

取无量纲模型 $\dot{x}=x+u$，$Q=R=1$。未控制时误差会增长。令候选值函数为 $V(x)=p{x}^2$，则 $$x^2+u^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(p{x}^2)=u^2+2pxu+(1+2p)x^2.$$ 如果 $p^2=1+2p$，右边恰是 $(u+px{)}^2$。两个代数根为 $1\pm \sqrt{2}$；选 $p=1+\sqrt{2}$ 后，反馈 $u=-px$ 使 $\dot{x}=-\sqrt{2}x$，严格稳定。

对任意具有有限代价的输入，在区间 $[0,T]$ 积分得到 $$J_T=p{x}_0^2-px(T{)}^2+{\int }_0^T(u+px{)}^2\mathrm{d}t.$$ 有限代价保证 $x,u$ 平方可积，且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}^2=2x(x+u)$ 绝对可积，因此 $x^2$ 有有限极限；由于其积分有限，该极限只能为零。令 $T\to \mathrm{\infty }$，便得 $J\ge p{x}_0^2$，等号当 $u=-px$ 时成立。这是最优性证明，不是只展示一条看起来衰减的轨迹。

取 $x_0=1$，得到 $x(t)=e^{-\sqrt{2}t}$、$u(t)=-(1+\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}t}$，总代价 $1+\sqrt{2}\approx 2.4142$。如果只在稳定常增益 $u=-kx,k>1$ 中比较，直接积分得到 $$J(k)=\frac{1+k^2}{2(k-1)}.$$ 其导数分子为 $k^2-2k-1$，极小点仍是 $1+\sqrt{2}$。

增益太小，误差长期不消失；增益太大，输入平方代价上升。最优点平衡两种代价。

权重、有限时域与边界

变式。 将输入权重改为四，目标变成 $\int (x^2+4u^2)$。Riccati方程为 $2p-p^2/4+1=0$，稳定化解 $p=4+2\sqrt{5}$，反馈增益 $k=p/4=1+\sqrt{5}/2$。输入更昂贵时增益下降，但仍大于一，保证闭环稳定。

有限时域LQR还指定终端代价 $x(T{)}^{𝖳}{P}_{T}x(T)$，矩阵 $P(t)$ 由微分Riccati方程从终点向前求解，增益随时间变化。非线性系统在平衡点附近线性化后使用LQR，通常只得到局部设计；输入饱和、状态限制和模型误差都不在上述无约束最优性定理中。需要显式处理约束时，可考虑模型预测控制。