代数黎卡提方程

代数黎卡提方程（algebraic Riccati equation，ARE）是一类含未知矩阵二次项的矩阵方程，在最优控制和状态估计中出现。控制中的解不只需要满足代数等式，还通常要选择使闭环稳定的那一支；“求到一个实根”不足以完成控制设计。

连续时间控制方程

给定实矩阵 $A\in {ℝ}^{n\times n}$、$B\in {ℝ}^{n\times m}$，以及 $Q=Q^{𝖳}⪰0$、$R=R^{𝖳}\succ 0$，连续时间控制ARE为 $$A^{𝖳}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{𝖳}P+Q=0,P=P^{𝖳}.$$ 二次项 $PB{R}^{-1}{B}^{𝖳}P$ 使它不同于线性的李雅普诺夫方程。若 $A-B{R}^{-1}{B}^{𝖳}P$ 全部特征值实部为负，称 $P$ 为稳定化解。

把 $V=x^{𝖳}Px$ 代入 $\dot{x}=Ax+Bu$，展开并配平方： $$x^{𝖳}Qx+u^{𝖳}Ru+\dot{V}=(u+R^{-1}{B}^{𝖳}Px{)}^{𝖳}R(u+R^{-1}{B}^{𝖳}Px).$$ 等式成立的条件正是ARE。右边非负，且在 $u=-R^{-1}{B}^{𝖳}Px$ 时为零，由此连接到线性二次调节器的最优性证明。方程中的每个项都由同一代价和动力学产生，而非凭经验拟合的参数。

一个方程的两个根

取 $A=B=Q=R=1$，方程化为 $2p-p^2+1=0$，两根为 $p_{+}=1+\sqrt{2}$、$p_{-}=1-\sqrt{2}$。闭环系数为 $1-p$：正根给出 $-\sqrt{2}$，负根给出 $+\sqrt{2}$。负根满足代数方程，却让状态增长，也不是非负代价的值函数。

横轴是未知数p，曲线是方程残差。只有右侧根产生稳定闭环；残差为零本身不能选定正确分支。

标准存在唯一性定理需要 $(A,B)$ 可稳定、$(Q^{1/2},A)$ 可检测。在这些条件下，存在唯一半正定稳定化解。这里“唯一”限定在该类解中，并非说所有对称代数根只有一个。数值求解后应同时检查对称性、方程残差和闭环特征值。

离散时间形式

对 $x_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k$，代价为 $\sum _{k\ge 0}(x_k^{𝖳}Q{x}_k+u_k^{𝖳}R{u}_k)$，对应方程是 $$P=Q+A^{𝖳}PA-A^{𝖳}PB(R+B^{𝖳}PB{)}^{-1}{B}^{𝖳}PA.$$ 它由把下一步代价 $(Ax+Bu{)}^{𝖳}P(Ax+Bu)$ 加到当前代价，再对 $u$ 配平方得到。控制增益为 $K=(R+B^{𝖳}PB{)}^{-1}{B}^{𝖳}PA$，稳定化条件改为 $A-BK$ 的特征值模小于一。

变式。 离散标量 $A=B=Q=R=1$ 给出 $p=1+p-p^2/(1+p)$，即 $p^2-p-1=0$。非负根为 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$，反馈 $k=\phi /(1+\phi )=1/\phi$，闭环系数 $1-k=1/{\phi }^2$ 在单位圆内。它与连续时间的根 $1+\sqrt{2}$ 不同，不能只换导数符号而沿用同一方程。