线性方程组的解空间

线性方程组的解空间把“求一个答案”和“写出全部答案”区分开来。对 $Ax=b$，若 $b=0$，全部解构成矩阵 $A$ 的零空间 $\ker A$；若 $b\ne 0$ 而有一个特解 $x_p$，全部解是平移后的集合 $x_p+\ker A$，一般不再经过原点，因此通常不是线性子空间。

一个方程、三个未知量

令 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$，$b=(3,6{)}^T$。第二行与第一行重复，实际上只要求 $x_1+2x_2+3x_3=3$。以 $x_2=s,x_3=t$ 为自由变量，得 $$x=(3,0,0{)}^T+s(-2,1,0{)}^T+t(-3,0,1{)}^T,s,t\in ℝ.$$ 例如 $s=1,t=0$ 给 $x=(1,1,0{)}^T$；代回两行得到 $(3,6{)}^T$。两条方向向量各自满足 $Ax=0$，所以无论 $s,t$ 怎样取，都不改变右端。它们张出解平面，特解决定这个平面相对原点的位置。

先把同一关系降到二维，取 $x_1+2x_2=3$。特解 $x_p=(3,0)$，齐次解的方向为 $(-2,1)$，全部解构成图中的斜直线。它没有经过原点，正好说明非齐次解集是零空间的平移。上面的三未知量例子只是把这条直线换成由两个自由方向张成的平面。

非齐次解集是特解加上齐次解方向。

全部解为何一定如此

若 $Ax=b$ 且 $A{x}_p=b$，相减得到 $A(x-x_p)=0$，于是 $x-x_p\in \ker A$。反过来，任取 $z\in \ker A$，有 $A(x_p+z)=A{x}_p+Az=b$。两方向合起来证明解集恰为 $x_p+\ker A$，并非只验证了几组样本。

先检查 $b$ 是否在列空间里；不在则无解。若在且 $A$ 有 $n$ 列、秩为 $r$，秩零化度定理给 $\dim \ker A=n-r$。本例 $n=3,r=1$，所以有两个自由方向。方程数两条不等于独立约束数两条；重复的方程不会减少自由度。数值求解时还须留意近似相等的行是否真是重复，见条件数。

参考资料与相关词条

• MIT 18.06：用行最简形求 Ax=b。
• 相关：线性方程组与高斯消元、行空间与列空间、秩零化度定理。