行空间与列空间

给定 $m\times n$ 矩阵 $A$，它的列空间是全部列向量线性组合构成的 ${ℝ}^m$ 子空间，行空间是全部行向量线性组合构成的 ${ℝ}^n$ 子空间。两者分别回答不同问题：哪些右端向量 $b$ 可以写成 $Ax=b$，以及矩阵从输入 $x$ 中实际读取了哪些独立方向。

一张只有一条独立信息的矩阵

取 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$。第二行是第一行的两倍；第二、三列也分别是第一列的两倍、三倍。因此 $$\mathrm{Col}(A)=\mathrm{span}\{(1,2{)}^T\}\subseteq {ℝ}^2,\mathrm{Row}(A)=\mathrm{span}\{(1,2,3)\}\subseteq {ℝ}^3.$$ 向量 $b=(3,6{)}^T$ 在列空间中，所以 $Ax=b$ 有解；$(3,5{)}^T$ 不在由 $(1,2{)}^T$ 张成的直线上，所以无解。不要把行空间画在 ${ℝ}^2$ 里：它的向量有三个坐标。

消元怎样找基

初等行变换不改变行空间，故行最简形的非零行给原矩阵行空间的一组基。但行变换通常改变列向量本身，不能从化简后矩阵直接取列作为原列空间的基。正确做法是先在化简形中找主元列号，再回原矩阵取对应列。本例仅第一列是主元列，原第一列 $(1,2{)}^T$ 即为列空间基。

行维数与列维数相等，称为矩阵的秩。简要看出这一点：把 $A$ 行化简成 $R=EA$，其中 $E$ 可逆；$R$ 的非零行数是主元数 $r$，所以行空间维数为 $r$。乘可逆 $E$ 只是把列空间中的每个向量一一映到新空间，不改变维数；$R$ 的主元列数也是 $r$，故原列空间维数为 $r$。

对于矩阵 $A$，行空间与零空间还在输入空间 ${ℝ}^n$ 中正交：若 $Ax=0$，每一行与 $x$ 的内积都为零，因此行向量的任意线性组合也与 $x$ 正交。这个关系给线性方程组的解空间和最小二乘法提供了几何图景。

参考资料与相关词条

• MIT 18.06：矩阵的四个基本子空间。
• 相关：矩阵的秩、核与像、线性方程组的解空间、最小二乘法。