经典逻辑的三条基本律

同一律、矛盾律与排中律是传统讨论经典推理时常并列的三种规则。要准确使用它们，先把一条命题记作 $P$，并在整个论证里保持 $P$ 的含义与对象范围不变。下面的真值计算采用通常的经典二值逻辑：每个命题非真即假。

同一个 $P$ 必须保持同一含义

同一律在命题演算中可写成 $P\Rightarrow P$：无论 $P$ 真或假，这个条件句都真。在一段证明中，它还有更实际的约束：不能在前提里用“自然数”表示含 0 的数，得出结论时悄悄改成不含 0 的数。等式 $x=x$ 是相等关系的自反性；它与命题式 $P\Rightarrow P$ 相关，却不是把任意符号放在等号两侧就能替代完整定义。

例如定义 $A=\{n\in \mathbb{Z}:2\mid n\}$。若论证说“8 属于 $A$，所以 8 属于偶数集合”，必须先确认“偶数集合”仍指这个 $A$。若中途把 $A$ 重新指向 4 的倍数，形式相似的句子便不再是同一次推理。

矛盾律与排中律

矛盾律排除 $P$ 与 $\mathrm{\neg }P$ 在同一解释下同时为真，形式为 $\mathrm{\neg }(P\wedge \mathrm{\neg }P)$。排中律说 $P\vee \mathrm{\neg }P$ 成立。二者在经典逻辑的真值表中都为真：

同一个命题 P 的两种真值情况

$P$	$\mathrm{\neg }P$	$P\wedge \mathrm{\neg }P$	$P\vee \mathrm{\neg }P$	$P\Rightarrow P$
真	假	假	真	真
假	真	假	真	真

用“整数 7 是偶数”作 $P$，它是假命题，否定为真；用“整数 8 是偶数”作 $P$，情形反过来。所谓“没有中间情形”是对已经明确的同一命题作真值判断，不是说现实调查中的答案不能有“不知道”，也不是说一句有歧义的话会自动变得清楚。

悖论指出了哪项前提有问题

若贸然假定任意性质都能确定一个集合，可考虑 $R=\{x:x\notin x\}$。问 $R\in R$ 是否成立：按这条假定，它成立恰在 $R\notin R$ 时，于是推出冲突。这个经典的罗素悖论说明“任意条件均可不受限制地形成集合”的假定不能与通常集合推理同时保持；它不是推翻矛盾律的算例。现代公理化集合论正会限制集合形成的方式。

排中律也有逻辑体系的边界。在直觉主义逻辑中，$\mathrm{\neg }(P\wedge \mathrm{\neg }P)$ 仍可证明，但没有给出 $P$ 或 $\mathrm{\neg }P$ 的证明时，通常不能一概断定 $P\vee \mathrm{\neg }P$ 可证。本站普通数学词条若不另作说明，采用经典逻辑；读反证法或公理化方法时，应知道这个背景。

参考资料

• Open Logic Project《forall x: Calgary》，经典自然演绎与排中律。
• Open Logic Project，直觉主义逻辑与排中律。
• MIT《Mathematics for Computer Science》，命题逻辑与公理方法。