绕数

绕数（winding number）是闭合曲线围绕一个未被曲线经过的指定点转过的有向圈数。逆时针取正、顺时针取负；重复绕行会累加。曲线的几何图像相同，参数化的绕行次数仍可能不同。

在复平面中，它既可以用连续辐角的总变化定义，也可以用复积分计算。下面先算一条重复绕行的圆，再说明整数性及自交曲线各区域的差异。

同一圆周上的两次绕行

令 $\gamma (t)=e^{2it}$，$0\le t\le 2\pi$，指定点为原点。曲线图像是单位圆，但辐角的连续提升为 $\theta (t)=2t$，总变化为 $4\pi$，所以绕数为二。

圆周图像本身无法显示重数。参数式与辐角变化共同规定了两次绕行。

若只走 $e^{it}$，绕数为一；沿反向 $e^{-it}$ 走一周，绕数为负一。改变速度而保留方向和总绕行次数，不改变绕数。指定点若改为 $a=2$，它在圆外，绕数则为零。

连续提升允许辐角超过主值区间。把每一时刻都截回主辐角，会产生跳跃，无法直接用两端主值之差计算绕数。

积分定义与整数性

设 $\gamma :[0,1]\to ℂ$ 为闭合、分段 $C^1$ 曲线，$\gamma (0)=\gamma (1)$，且 $a\notin \gamma ([0,1])$。定义 $$\mathrm{Ind}(\gamma ,a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{\mathrm{d}z}{z-a}.$$ 曲线可以自交，也可以重复经过同一点，积分按给定的参数化累计。

沿参数区间可以连续选择 $$\gamma (t)-a=\rho (t)e^{i\theta (t)},\rho (t)>0.$$ 连续辐角可逐段拼接：将紧参数区间细分，使每段的单位方向落在一个不覆盖整圆的短弧中，在该弧选择辐角，并在相邻段加上适当的 $2\pi$ 整数倍使端点相接。分段光滑时， $$\frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\gamma (t)-a}=\frac{{\rho }^{\prime }(t)}{\rho (t)}+i{\theta }^{\prime }(t).$$ 积分后，闭合性使 $\rho (1)=\rho (0)$，于是 $$\mathrm{Ind}(\gamma ,a)=\frac{\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }.$$ 又因两端单位方向相同，$e^{i\theta (1)}=e^{i\theta (0)}$，辐角差必为 $2\pi$ 的整数倍。这证明了积分定义确实给出整数。

主例也可直接代入： $$\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{2i{e}^{2it}}{e^{2it}}\mathrm{d}t=2.$$ 绕数与辐角变化的关系，是辐角原理将复函数的零点、极点计数联系起来的基础。

区域、拼接与自交

绕数对闭曲线的拼接相加，反向遍历则变号。这可以直接从积分的可加性与参数反向换元得到。

对固定曲线，绕数作为 $a$ 的函数，在曲线补集的每个连通分量上常值：当 $a$ 在不碰曲线的小邻域内移动时，分母与零保持正距离，积分连续；连续且取整数值的函数在连通分量上只能常值。在无界分量中，$|a|\to \mathrm{\infty }$ 时积分绝对值趋于零，故该分量绕数为零。这也给出了主例外部点绕数为零的理由。

自交曲线可能围出多个绕数不同的区域。例如按次序连接 $$(-2,-1),(2,1),(2,-1),(-2,1)$$ 并回到起点，得到一条交叉折线。右侧小环顺时针，左侧小环逆时针，因此 $$\mathrm{Ind}(\gamma ,-1)=1,\mathrm{Ind}(\gamma ,1)=-1.$$ 原点正好在交叉处，绕数在该指定点没有定义。

箭头按给定顶点次序走。不同区域分别计有向绕行，不能把图上的所有闭合部分统一称为一个内部。

有理坐标折线的计算

对有理坐标多边形，可数一条从指定点向右发出的水平射线与有向边的交叉：向上穿过计一，向下穿过计负一。边的端点采用半开规则，避免射线恰过顶点时重复计数。下面用 Fraction 精确判断所给有理数数据的方向与共线性；返回整数绕数，不改写输入。

Python 3

from fractions import Fraction

def winding_number(vertices, query):
    polygon = [(Fraction(x), Fraction(y)) for x, y in vertices]
    ax, ay = map(Fraction, query)
    if len(polygon) < 3:
        raise ValueError("require at least three vertices")
    if polygon[0] != polygon[-1]:
        polygon.append(polygon[0])
    winding = 0
    for (px, py), (qx, qy) in zip(polygon, polygon[1:]):
        px, py, qx, qy = px - ax, py - ay, qx - ax, qy - ay
        cross = px * qy - qx * py
        if cross == 0 and min(px, qx) <= 0 <= max(px, qx) \
                and min(py, qy) <= 0 <= max(py, qy):
            raise ValueError("query lies on the curve")
        if py <= 0 < qy and cross > 0:
            winding += 1
        elif qy <= 0 < py and cross < 0:
            winding -= 1
    return winding

bow = [(-2, -1), (2, 1), (2, -1), (-2, 1)]
print(winding_number(bow, (-1, 0)))  # 1
print(winding_number(bow, (1, 0)))   # -1
print(winding_number(bow, (3, 0)))   # 0
assert winding_number(list(reversed(bow)), (-1, 0)) == -1

计数的理由。 沿每条不经过指定点的边连续跟踪辐角。只有越过所选射线时，选在 $[0,2\pi )$ 内的分支需要增加或减去一个 $2\pi$ 来保持连续。向上穿过正向射线需要增加，向下需要减少；叉积符号判断交点是否在正向射线上。半开端点规则把穿越顶点的贡献恰计一次。因此累计数等于连续辐角总变化除以 $2\pi$。

对 $n$ 条边，算法进行 $O(n)$ 次有理数运算与比较，点列规范化占 $O(n)$ 空间；实际位运算代价还随整数位数变化。浮点输入会被转换为其实际二进制数值的精确分数，若原始数据代表精确十进制，宜传十进制字符串或已构造的分数。

连续变形只要保持闭合并始终避开指定点，绕数就保持不变；指定点穿过曲线时则可能跳变。对于开曲线，可以计算辐角变化，但没有闭合性便没有这里的整数结论。