辐角原理

辐角原理（argument principle）把亚纯函数的零点、极点计数，与函数值沿边界绕原点的次数联系起来。计算时重零点须按重数计，极点须按阶数扣除；只统计不同点的个数会得到错误答案。

设 $f$ 在分段光滑简单闭曲线及其内部的一个开邻域内亚纯，边界上没有零点或极点，曲线按逆时针行进。内部零点重数之和为 $N$，极点阶数之和为 $P$，则 $$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=N-P.$$ 在这类紧闭区域附近，非恒零亚纯函数的零点和极点没有内部聚集，所以待计数的项只有有限多个。恒零函数的边界也是零点，不满足前提。

对数导数的局部留数

若 $a$ 是 $m$ 重零点，可写 $f(z)=(z-a{)}^{m}g(z)$，其中 $g$ 在该点全纯且非零。求导后相除： $$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{m}{z-a}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}.$$ 第二项全纯，因此对数导数在该点的留数为 $m$。若是 $k$ 阶极点，把指数换成 $-k$，得到留数 $-k$。对 $f^{\prime }/f$ 使用留数定理，各项相加就得到 $N-P$。

这个推导也说明计数不需要把所有根写成初等表达式。只要控制边界上函数不为零并计算积分，便可知道内部总重数；鲁歇定理会进一步用边界大小比较简化计数。

一个有重数和极点的算例

取 $$f(z)=\frac{z^3(z-2)}{(z-1/2{)}^2}.$$ 沿单位圆积分时，内部有零点零，重数三；极点 $1/2$ 的阶数为二；另一个简单零点二在外部。因此 $N-P=3-2=1$。直接求对数导数也得到 $$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{3}{z}+\frac{1}{z-2}-\frac{2}{z-1/2}.$$ 三个圆积分分别贡献 $3,0,-2$ 乘以 $2\pi i$，验证总计数一。

图中小圆点标零点，叉号标极点，旁边数字是重数或阶数。单位圆的净计数为3减2等于1。

变式。 改用半径三的圆，零点二也进入，得到 $N=4$、$P=2$，积分除以 $2\pi i$ 后为二。若半径取 $1/2$，路径经过极点，辐角原理不适用，不能仍用整数公式硬算。

从积分到辐角变化

把边界参数化为 $z=\gamma (t)$，令 $w(t)=f(\gamma (t))$。因边界上无零点或极点，像曲线是有限且不经过零的闭曲线。沿参数区间可以连续选择辐角 $\theta (t)$，写成 $$w(t)=|w(t)|e^{i\theta (t)}.$$ 分段求导并积分，有 $$\int \frac{w^{\prime }(t)}{w(t)}dt=\Delta \log |w|+i\Delta \theta .$$ 首尾函数值相同，模的对数变化为零；连续辐角的净变化为整数倍的 $2\pi$。这个整数就是像曲线绕零的绕数，也等于前面的 $N-P$。

对主例，净变化为 $2\pi$。这不是说像曲线的辐角必须单调增加，局部可以向相反方向走；只要求最后的累计变化。直接在首尾取同一个主辐角，两者当然相同，减出零，那样丢掉了经过分支边界时累计的整圈数。

数值计数的检查条件

采样边界并连续展开辐角可以近似计算绕数，但采样过疏可能漏掉快速旋转，也可能跨过接近零的弧段。稳健的数值证据需要边界不为零的控制与误差界。只看一张离散散点图，不能声称已经严格证明区域内恰有几个根。

当零点穿过边界，允许前提在穿越时刻失败，净计数才可能改变。这一边界稳定性是根的位置分析和复解析数值方法的重要依据。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.4.1（辐角原理、对数导数局部留数与像曲线绕数）。