群同态

群同态是保持群运算的映射。它不要求两群的元素长得相像，却要求“先运算再映射”与“先映射再运算”结果一致。这个条件让我们能把复杂对象压缩成较简单的对象，同时准确记录压缩时丢失了什么。

整数怎样变成正方形的旋转

令 $C_{4} = {e, r, r^{2}, r^{3}}$ ，其中 $r$ 是正方形逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ ， $r^{4} = e$ 。定义 $φ : ℤ \to C_{4}$ ，令 $φ (n) = r^{n}$ 。负整数表示反向旋转，例如 $φ (- 1) = r^{3}$ 。

整数相加对应连续旋转： $φ (2 + 3) = r^{5} = r$ ，而 $φ (2) φ (3) = r^{2} r^{3} = r$ 。一般地，由幂的运算规则， $φ (m + n) = r^{m + n} = r^{m} r^{n} = φ (m) φ (n) .$ 这不表示整数加法与旋转是同一种运算；它表示映射把各自的运算接起来了。

整数先按模四分成四个余数类，再与正方形四种旋转一一对应；从整数直接映到旋转或经过余数类结果相同 — 整数 $n$ 可直接对应旋转 $r^{n}$ ，也可先只保留模四余数，再对应同一个旋转。

定义与必然保留的结构

设 $G, H$ 是群，运算都暂写作相乘。映射 $φ : G \to H$ 若对任意 $a, b \in G$ 满足 $φ (a b) = φ (a) φ (b),$ 就称为群同态。两边乘积分别在 $G$ 与 $H$ 中计算。若 $G$ 用加法、 $H$ 用乘法，上例的条件便写成 $φ (m + n) = φ (m) φ (n)$ 。

同态自动把单位元送到单位元。事实上 $φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G})^{2}$ ；在 $H$ 中消去一个 $φ (e_{G})$ ，得到 $φ (e_{G}) = e_{H}$ 。再把 $a a^{- 1} = e_{G}$ 映过去，可得 $φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1} .$ 两式不是额外公理，而是由保持运算推出的。

反例也能直接检查。 $n \mapsto | n |$ 作为从整数加法群到自身的映射，并非同态： $| 1 + (- 1) | = 0$ ，但 $| 1 | + | - 1 | = 2$ 。它虽把 0 送到 0，仍不保持一般加法；只检查单位元是不够的。

核和像分别记录什么

核是被映成目标群单位元的输入： $\ker φ = {g \in G : φ (g) = e_{H}} .$ 像是实际到达的输出 $im φ = {φ (g) : g \in G}$ 。上例的核为 $4 ℤ$ ，即四的倍数；像是全部四种旋转。核中的不同整数在旋转时都“看起来没动”，但它们在原来的整数群中并非同一个数。

核是 $G$ 的子群：单位元在核中，若 $k_{1}, k_{2}$ 在核中，则 $φ (k_{1} k_{2}^{- 1}) = e_{H} e_{H}^{- 1} = e_{H}$ 。像也是 $H$ 的子群，因为两项像的乘积和逆仍是像。核还有更强的性质：任取 $g \in G, k \in \ker φ$ ， $φ (g k g^{- 1}) = φ (g) e_{H} φ (g)^{- 1} = e_{H} .$ 故 $g k g^{- 1}$ 仍在核中。这样的子群称为正规子群，它恰是能形成商群的条件。

核精确刻画了同态是否单射。若 $φ (a) = φ (b)$ ，左乘 $φ (b)^{- 1}$ 得 $φ (b^{- 1} a) = e_{H}$ ，即 $b^{- 1} a \in \ker φ$ 。所以核只有单位元时只能有 $a = b$ ，映射单射；若核中还有 $k \neq e_{G}$ ，则 $φ (k) = φ (e_{G})$ ，它不单射。

第一同构定理：把丢失的信息分组

仍令 $K = \ker φ$ 。由上一段， $φ (a) = φ (b) ⟺ b^{- 1} a \in K ⟺ a K = b K .$ 因此同一输出的所有输入恰构成一个左陪集。把每个陪集当作一个新元素后，定义 $\overline{φ} : G / K \to im φ, \overline{φ} (g K) = φ (g) .$ 这一定义不能只写下来，还要确认换一个代表不改变结果。若 $g K = h K$ ，则 $h^{- 1} g \in K$ ，于是 $φ (h)^{- 1} φ (g) = e_{H}$ ，故 $φ (g) = φ (h)$ 。反过来，同一输出也必属于同一陪集，所以新映射单射；像中的每个元素本来由某个 $g$ 得到，所以新映射满射。最后， $\overline{φ} ((g K) (h K)) = φ (g h) = φ (g) φ (h) = \overline{φ} (g K) \overline{φ} (h K) .$ 于是它是保持运算的双射，即群同构。这就是第一同构定理 $G / \ker φ ≅ im φ$ 。

回到旋转例子， $ℤ / 4 ℤ$ 只有四个余数类，它们分别对应 $e, r, r^{2}, r^{3}$ 。把相差四圈的整数先合并，正好消除映射中的重复。若要判断一个具体映射有多大压缩，先算核，再看像，比只比较两群元素的名字可靠。

来源与相关词条

Thomas W. Judson《Abstract Algebra: Theory and Applications》，§11.2：商群与第一同构定理。
先修：群、等价关系；后续：商群、环、线性映射。