自由模

自由模是具有一组基的模：每个元素都能以唯一方式写成基元素的有限线性组合。它与向量空间的相似处是坐标唯一；区别在于标量来自环而非一定来自域，因此一般模未必有基。

基与有限支撑

设 $R$ 是有单位元的环，$M$ 为左 $R$-模。一个以集合 $I$ 编号的族 $(e_i{)}_{i\in I}$ 是基，如果每个 $m\in M$ 都能唯一写为 $$m=\sum _{i\in I}{r}_i{e}_i,$$ 其中只有有限个 $r_i\in R$ 非零。有限支撑保证此和在一般模里有定义；没有给模指定收敛结构时，不能擅自将其换成无限级数。

例如 ${\mathbb{Z}}^2$ 以 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 为基。对于 $(3,-2)$，唯一表示是 $3e_1-2e_2$；若另有 $a{e}_1+b{e}_2=(3,-2)$，比较两个坐标即 $a=3,b=-2$。

与标准直和的对应

记 $R^{(I)}$ 为所有从 $I$ 到 $R$ 的有限支撑函数构成的模。若 $M$ 有基 $(e_i)$，则 $$\Phi :R^{(I)}\to M,(r_i)⟼\sum _i{r}_i{e}_i$$ 是模同态。基的生成性使它满射，表示的唯一性使它单射，因此 $M\cong R^{(I)}$。反过来，把标准坐标向量通过一个同构送到 $M$，所得族就是一组基。故自由模也可定义为同构于某个 $R^{(I)}$ 的模。

非自由的例子

把 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 看作 $\mathbb{Z}$-模。任何非零元素 $x$ 都满足 $6x=0$。若它有一个非空基，基元素 $e$ 就有两个不同的坐标表示：$0=0e=6e$，与唯一性矛盾。空基只生成零模，而该模非零，因此它不是自由模。

自由性属于模及其标量环共同决定的性质：同一个加法群在不同环上的模结构可能不同。环若为域，模就是向量空间；一般环上则不能把“有生成元”当成“有基”。对于无穷基，每个元素仍只使用有限多个基向量。