莫比乌斯变换

莫比乌斯变换（Möbius transformation）是在扩充复平面上定义的分式线性变换，形式为 $$T(z)=\frac{az+b}{cz+d},ad-bc\ne 0.$$ 四个系数为复数。把它们同时乘以非零常数不改变变换。行列式条件使它可逆；若行列式为零，分子分母成比例时只得到常值表达式，不能称为莫比乌斯变换。

它把广义圆映成广义圆。这里的广义圆指普通圆或一条直线连同无穷远点，因此一个普通圆被映成直线，并没有违背这个结论。

极点、无穷远与逆映射

当 $c\ne 0$，规定 $T(-d/c)=\mathrm{\infty }$、$T(\mathrm{\infty })=a/c$。分子在极点处不会同时为零，否则行列式也为零。当 $c=0$，变换是斜率非零的仿射函数，并把无穷远点映到自身。

由 $w(cz+d)=az+b$ 解得 $$z=T^{-1}(w)=\frac{dw-b}{a-cw}.$$ 此式按同样规则补上无穷远点。逆变换的系数矩阵可取 $$\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$ 它与原矩阵相乘是 $(ad-bc)I$，非零的整体倍数不影响分式。因此每个球面点都有唯一原像，而不是只在分母非零的有限点间形式地求了一个逆。

有限非极点处的导数为 $$T^{\prime }(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d{)}^2}\ne 0.$$ 故它在这些点局部共形；在极点和无穷远附近改用倒数坐标，同样可检验非退化性。

把单位圆变成竖直直线

取 $T(z)=1/(1-z)$。它把零、一、无穷远依次映到一、无穷远、零，逆式为 $z=1-1/w$。例如 $T(2)=-1$，再代入逆式得到二。

若 $|z|=1$ 且 $z\ne 1$，由逆式可知 $$|w-1{|}^2=|w{|}^2.$$ 写 $w=u+iv$，展开即 $(u-1{)}^2+v^2=u^2+v^2$，所以 $u=1/2$。反过来，这条直线上的有限点均不为零，代回逆式得到单位圆上的点。原圆上的一点一被送到无穷远，因而整个广义圆恰好对应整条竖直线连同无穷远。

源平面中的单位圆。点1是变换的极点；其余三个标记点可逐一代入分式核对。

像平面的三个点依次是T(-1)=1/2、T(i)=(1+i)/2、T(-i)=(1-i)/2。两图坐标是不同平面，不能把线段当成原图平移得到。

再看圆内部。将 $|z|<1$ 代入同一逆式，得到 $|w-1|<|w|$，亦即 $\mathrm{\Re }w>1/2$。所以单位圆盘映为右侧半平面；只确定边界直线，还不足以判断内部落在哪一侧，可用点零的像一作核对。

圆保持性的代数依据

一个广义圆可写成 $$\alpha |z{|}^2+\beta z+\bar{\beta }\bar{z}+\gamma =0,$$ 其中 $\alpha ,\gamma$ 为实数，系数须表示非退化的圆或直线。把逆分式代入并乘以 $|a-cw{|}^2$，所得仍由 $|w{|}^2,w,\bar{w},1$ 的实值组合构成。由可逆性，原来非退化的圆不会塌成一点或空集，故像仍是普通圆或直线。这也解释特殊情形为何可能出现二次项系数为零。

变式。 对 $S(z)=(z-i)/(z+i)$，若 $z=x$ 为实数，则分子分母模相同，故 $|S(x)|=1$，并且 $S(\mathrm{\infty })=1$、$S(i)=0$。对 $z=x+iy$、$y>0$，两模平方之差为 $|z+i{|}^2-|z-i{|}^2=4y>0$，因此上半平面映入单位圆盘。这一变换会成为黎曼映射定理的完整可算特例。

表达式 $(2z+2)/(z+1)$ 则有行列式零，除原来未定义的点外恒为二；补上可去点后仍是常数，不能作为一一对应的分式变换。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§1.4（分式线性变换、逆变换、圆与直线），§1.5（广义圆的代数表示）。