黎曼球面

黎曼球面（Riemann sphere）是在复平面上添加一个无穷远点得到的空间，记作 $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$。它可以与三维单位球面一一对应。这里所有模趋于无穷的方向都趋向同一个点，不能把它理解成实数轴两端各有一个带符号的无穷。

这个空间使 $z\mapsto 1/z$ 可以补上零与无穷远的值：零映到无穷远，无穷远映到零。分式函数的极点因此可以作为取值为无穷远的正常球面点处理。

从北极投向复平面

取单位球面 $X^2+Y^2+Z^2=1$，北极为 $N=(0,0,1)$，把平面 $Z=0$ 认作复平面。对球面上非北极点 $P=(X,Y,Z)$，连接 $N,P$ 并延长，与平面相交的复坐标为 $$z=\frac{X+iY}{1-Z}.$$ 这称为球极投影。北极本身对应 $\mathrm{\infty }$。

为了求逆，写平面点为 $Q=(x,y,0)$，令 $r^2=x^2+y^2$。直线上的点为 $N+t(Q-N)$。代入球面方程，得到 $$t^2{r}^2+(1-t{)}^2=1.$$ 除去北极对应的 $t=0$，另一解为 $t=2/(1+r^2)$，所以 $$\begin{array}{cc}X& =\frac{2x}{1+r^2},Y=\frac{2y}{1+r^2},\\ Z& =\frac{r^2-1}{r^2+1}.\end{array}$$ 分母始终为正。将三坐标平方相加，分子为 $4r^2+(r^2-1{)}^2=(r^2+1{)}^2$，验证所得点确在单位球面上。再代入投影公式恢复 $x+iy$，证明对应可逆。

图画经过北极和Q的剖面，平面内的径向距离记作r。实际球极投影保留平面方位角，剖面计算即可推出三维坐标公式。

一个可逐项核对的点

取 $z=1+i$，则 $r^2=2$，对应 $$P=(2/3,2/3,1/3).$$ 三坐标平方和是 $4/9+4/9+1/9=1$；反向投影给出 $$\frac{2/3+i(2/3)}{1-1/3}=1+i.$$ 零对应南极 $(0,0,-1)$，单位圆上的点满足 $Z=0$，因而对应赤道。圆内点在南半球，圆外点在北半球。

变式。 取 $z=2i$，有 $r^2=4$，球面点为 $(0,4/5,3/5)$。当 $z=in$ 且 $n\to \mathrm{\infty }$，三个坐标依次趋于零、零、一，靠近北极。若改成 $z=-n$ 或 $n{e}^{in}$，只要模趋于无穷，仍得到同一北极。

无穷远附近的局部坐标

无穷远点的基本邻域是某个大圆外部连同该点： $$\{z:|z|>R\}\cup \{\mathrm{\infty }\},R>0.$$ 用倒数坐标 $w=1/z$，这一邻域变成零附近的圆盘 $|w|<1/R$。因此“在无穷远附近分析函数”可以转化成“在零附近分析 $f(1/w)$”。两个坐标片的过渡函数 $1/z$ 在重叠处全纯，这赋予球面一维复流形结构。

例如 $f(z)=(2z+1)/(z-3)$ 满足 $$f(1/w)=\frac{2+w}{1-3w}.$$ 右端在 $w=0$ 全纯，值为二，故 $f(\mathrm{\infty })=2$。而 $z^2$ 在该坐标下为 $1/w^2$，在无穷远有二阶极点。

极限与运算的边界

在球面意义下，$1/z\to \mathrm{\infty }$ 等价于其模趋于无穷；沿正实轴和负实轴接近零不会产生两个不同的球面极限。但 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$、$0\cdot \mathrm{\infty }$ 仍不能作为普通复数算术随意运算：它们的极限可能依赖具体函数。

黎曼球面是紧致空间，这一点可由它与单位球面的对应理解。它没有把复平面在欧氏距离下变成有界平面；改变的是空间及其拓扑。莫比乌斯变换正是在这个球面上无处缺失的一类可逆全纯映射。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§1.3（球极投影、无穷远邻域与倒数坐标）。