莫雷拉定理

莫雷拉定理（Morera's theorem）给出由积分检验全纯性的方法：如果函数连续，而且每个足够小三角形边界上的积分都为零，那么函数全纯。它可以在尚未能直接求导时发挥作用，例如证明全纯函数列的局部一致极限仍全纯。

准确地说，设 $\Omega \subset ℂ$ 为开集、$f:\Omega \to ℂ$ 连续。若每个连同内部完全落在 $\Omega$ 的三角形 $T$ 都满足 $${\oint }_{\partial T}f(z)dz=0,$$ 则 $f$ 在 $\Omega$ 全纯。无需假设整个定义域单连通，因为证明只在每个点的小圆盘内构造原函数。

用三角形拼出局部原函数

在定义域内取一个开圆盘并固定点 $a$。由于圆盘凸，从 $a$ 到任意点 $z$ 的线段都在圆盘内，定义 $$F(z)={\int }_{[a,z]}f(\zeta )d\zeta .$$ 对充分小的复增量 $h$，三角形 $a,z,z+h$ 完全在圆盘内。其边界积分为零意味着 $$F(z+h)-F(z)={\int }_{[z,z+h]}f(\zeta )d\zeta .$$ 若三点共线，同样等式由线段积分的可加性得到。参数化短边后有 $$\frac{F(z+h)-F(z)}{h}={\int }_0^{1}f(z+th)dt.$$ 由连续性，右端与 $f(z)$ 的差的模至多为短线段上 $|f(z+th)-f(z)|$ 的最大值，随 $h\to 0$ 趋零。这给出所有复方向上相同的导数 $F^{\prime }(z)=f(z)$。

所以 $F$ 全纯，而全纯函数的导数由柯西积分公式仍全纯，故 $f$ 全纯。圆盘可围绕任意内部点选取，局部结论覆盖整个开集，证明完成。

三角形零积分使F的差商变成短线段上的函数平均。连续性负责让这个平均趋于端点值。

共轭函数在三角形上不通过检验

取 $f(z)=\bar{z}$，沿顶点为零、一、$i$ 的三角形逆时针积分。

第一边从零到一，令 $z=t$，积分为 $1/2$。第二边令 $z=1-t+it$、$0\le t\le 1$，则 $$\bar{z}dz=(1-t-it)(-1+i)dt.$$ 展开并积分，实部 $-1+2t$ 的积分为零，虚部恒为一，故第二边积分为 $i$。第三边从 $i$ 到零，令 $z=it$、$t:1\to 0$，积分为 ${\int }_1^{0}tdt=-1/2$。三边之和为 $i\ne 0$，所以它虽连续，却不满足零积分条件，也确实不是全纯函数。

局部一致极限的有解答变式

变式。 设 $f_n$ 在开集内全纯，且在每个紧子集上一致收敛到 $f$。局部一致极限连续；对任一内部三角形，边界紧致，积分差满足 $$|{\oint }_{\partial T}(f_n-f)dz|\le L(\partial T)\underset{\partial T}{max}|f_n-f|\to 0.$$ 每个 $f_n$ 的三角形积分为零，故极限函数也为零，莫雷拉定理使 $f$ 全纯。

例如指数的有限和 $p_n(z)=\sum _{k=0}^n{z}^k/k!$ 都是多项式。在任意闭圆盘 $|z|\le R$，尾项模受收敛的实数级数 $\sum R^k/k!$ 控制，因此一致收敛；上述证明使其和函数在整个复平面全纯。这里需要紧集上一致性，不能把任意逐点极限都说成全纯。

连续性不能只字不提

若定义 $q(0)=1$、其余点取零，则每条非退化三角形边上的积分都为零，因为单个点不改变线段积分。但 $q$ 在零不连续，更不全纯。这说明只写“三角形积分为零”还不能替代完整假设。

定理也不要求每条全局闭曲线积分都为零。像 $1/z$ 在去心平面全纯，所有完全处于该区域的小三角形积分为零，却有绕原点圆周积分 $2\pi i$。莫雷拉检验局部解析性，存在全局原函数还要考虑区域孔洞。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§3.3.2（莫雷拉定理与导数全纯性），§3.2（局部三角形积分）。