蒙特卡洛积分

蒙特卡洛积分用随机取样近似积分。若 $U_1,\dots ,U_n$ 独立且均匀分布在 $[0,1]$，则 $$I={\int }_0^{1}f(x)dx=E[f(U)],{\hat{I}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(U_i).$$ 当 $f(U)$ 具有有限方差时，$E[{\hat{I}}_n]=I$，标准误为 $\sqrt{\mathrm{Var}(f(U))/n}$。它的典型误差尺度是 $n^{-1/2}$，与样本平均的误差同源。

用圆的面积估计圆周率

在单位正方形随机取均匀点 $(U,V)$。指示量 $Z={\mathrm{𝟏}}_{\{U^2+V^2\le 1\}}$ 的均值是四分之一圆的面积 $\pi /4$，所以 $4{\overline{Z}}_n$ 估计 $\pi$。若 1000 个点中 786 个落在圆内，估计值为 $4(786/1000)=3.144$；这是示例观测，不是精确证明圆周率等于 3.144。伯努利方差给估计量标准误 $4\sqrt{p(1-p)/n}$，实际可用 $\hat{p}=786/1000$ 代入作估计。

可运行的 Python 例子

Python 3

import random

def estimate_pi(samples: int, seed: int = 0) -> float:
    """Return 4 times the fraction inside the quarter unit disk."""
    if samples <= 0:
        raise ValueError("samples must be positive")
    rng = random.Random(seed)
    inside = 0
    for _ in range(samples):
        x, y = rng.random(), rng.random()
        inside += x * x + y * y <= 1.0
    return 4.0 * inside / samples

print(estimate_pi(100_000))

输入是正整数样本量与随机种子，返回浮点估计，不改写外部数据；耗时 $O(n)$，除随机数生成器状态外额外空间 $O(1)$。固定种子便于复算，不会让估计值变成精确值。

高维与限制

若在体积为 $V$ 的区域均匀抽样，积分估计量为 $V$ 倍的函数值平均。蒙特卡洛方法在高维时不直接受网格点数指数增长所限，但若函数方差巨大或事件极罕见，朴素采样仍可能很慢；可用重要性采样等方法改善。随机机制、独立性与方差条件必须在报告误差时写清。

参考资料

• MIT 18.05，Monte Carlo and Simulation 讲义。
• MIT 10.34，Monte Carlo Integration 讲义。
• 继续阅读：大数定律、中心极限定理、数值误差。