西罗子群

设有限群 $G$ 的阶写成 $|G|=p^{a}m$，其中 $p$ 是素数、$a\ge 1$ 且 $p\nmid m$。阶恰为 $p^a$ 的子群称为 $G$ 的西罗 $p$-子群。它是群阶中该素数部分所允许的最大阶 $p$-子群。

从六个置换开始

三元对称群 $S_3$ 有六个元素，$6=2\cdot 3$。取 $p=2$，最高二次幂因子是二；三个由换位生成的子群 $$⟨(12)⟩,⟨(13)⟩,⟨(23)⟩$$ 各含单位元与一个换位，阶均为二，都是西罗 2-子群。它们不同：例如 $(12)$ 不属于 $⟨(13)⟩$。

取 $p=3$ 时，$A_3=\{e,(123),(132)\}$ 的阶为三，是西罗 3-子群。它是唯一的西罗 3-子群：阶为三的子群必须包含一个三阶非单位元，而 $S_3$ 中两个三阶元素互为逆元，均生成 $A_3$。

与极大 $p$-子群的关系

有限群的 $p$-子群指阶为 $p$ 的非负整数次幂的子群。拉格朗日定理说明任何 $p$-子群的阶都整除 $|G|$，所以阶不超过 $p^a$。西罗存在定理保证阶为 $p^a$ 的子群确实存在；西罗定理还保证任意 $p$-子群包含于某个西罗 $p$-子群中。

因此西罗 $p$-子群按包含关系也是极大的 $p$-子群。这里要区分“在所有子群中极大”和“在 $p$-子群中极大”：例如群本身可以含有更多非 $p$ 阶元素，而一个西罗子群并不因此是整个子群格中的极大真子群。

共轭与正规性

同一个素数 $p$ 的西罗子群彼此共轭，若 $P$ 是西罗子群，则其共轭 $gP{g}^{-1}$ 与 $P$ 等阶，也是西罗子群。由此得到一个常用判别：$P$ 正规当且仅当它是唯一的西罗 $p$-子群。唯一时每个共轭仍是西罗子群，只能等于 $P$；正规时所有共轭都等于 $P$，又因为所有西罗子群互相共轭，所以没有其他西罗子群。

在上例中，唯一的 $A_3$ 是正规子群；三个西罗 2-子群则不是正规子群。上述“唯一当且仅当正规”依赖西罗子群共轭定理，并非任意固定阶子群都自动具有的性质。