调和函数

调和函数（harmonic function）是在开集上二阶连续可微、拉普拉斯算子为零的实值函数。在平面上，它满足 $u_{xx}+u_{yy}=0$。这一方程表示两个方向的局部弯曲彼此抵消，并不要求函数在每个方向上都没有弯曲。

例如 $$u(x,y)=x^2-y^2+2x$$ 有 $u_{xx}=2$、$u_{yy}=-2$，相加为零。只看 $x$ 方向像抛物线，并不妨碍它是调和函数。

定义与全纯函数的联系

对开集 $\Omega \subset {ℝ}^n$，若 $u\in C^2(\Omega )$ 且 $$\Delta u=\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_j^2}=0,$$ 便称 $u$ 在 $\Omega$ 上调和。条件是区域内每一点都满足方程，不是只在少量网格点上检查。

若 $f=u+iv$ 全纯，柯西—黎曼方程给出 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$。全纯函数足够光滑，混合偏导数相等，故 $$\Delta u=v_{yx}-v_{xy}=0.$$ 虚部 $v$ 也调和。主例正是 $f(z)=z^2+2z$ 的实部；其虚部为 $2xy+2y$。反过来寻找这样的虚部，是调和共轭函数的问题，在有孔区域会出现额外的整体条件。

圆平均值性质的证明

设以 $a$ 为中心、半径 $R$ 的闭圆盘及其附近包含在调和区域内。固定 $0<r<R$，令 $e(t)=(\cos t,\sin t)$，定义圆周平均 $$M(r)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(a+re(t))dt.$$ 对半径求导，积分里的方向导数就是外法向导数。圆周弧长微元为 $ds=rdt$，所以 $$\begin{array}{cc}{M}^{\prime }(r)& =\frac{1}{2\pi r}{\int }_{\partial B(a,r)}\frac{\partial u}{\partial n}ds\\ & =\frac{1}{2\pi r}{\int }_{B(a,r)}\Delta udA=0.\end{array}$$ 第二步使用平面散度定理，$n$ 为外单位法向。故 $M(r)$ 不随半径变化；令 $r\to 0$，连续性使 $M(r)\to u(a)$。于是每个合法圆周的平均都等于中心值。

由此还能看出局部极值的限制：若中心是整个小圆盘内的最大点，圆周上每个值都不超过中心值，但平均又等于中心值，连续性迫使各点都取同一值。对所有较小半径重复，函数在一个邻域内恒定；在连通区域可进一步推出调和函数的最大值原理。

同一个二次函数上的读图与复算

主例在中心 $a=(1,0)$ 处的值为三。半径一圆上的四个轴向点的值为 $$\begin{array}{cccc}u(2,0)& =8,& u(1,1)& =2,\\ u(0,0)& =0,& u(1,-1)& =2.\end{array}$$ 这四个数的平均也为三。对本例，把圆周参数代入可更完整地核对： $$u(1+\cos t,\sin t)=3+4\cos t+\cos 2t.$$ 后两个周期项的积分平均为零，因此连续圆平均确实为三。四点平均恰好等于圆平均，是这个二次多项式的特殊性质；一般调和函数需要整个圆周的积分，四点采样不能代替定理。

正文用圆周参数计算真正的平均；图上的四个读数只是该二次例子的有限核对。

变式。 改用 $q(x,y)=x^2+y^2$，有 $\Delta q=4$。在以原点为中心、半径一的圆上，函数恒为一，平均为一，而中心值为零。它在图上同样光滑，却不满足调和函数的平均值性质。

调和函数不必有界，也不必非负；主例沿横轴趋向正无穷，沿纵轴趋向负无穷。物理中的稳态温度等模型还需边界条件及材料假设，不能只凭 $\Delta u=0$ 就把任意调和函数解释成某个现实系统的观测。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§7.1（定义、全纯函数实虚部、最大值性质），§7.2（圆平均值性质）。