贝塔二项分布

贝塔二项分布（beta-binomial distribution）是共享一个随机成功概率的二项混合分布。给定这个概率后，各次试验条件独立；把概率的不确定性积分掉以后，同一组内的结果通常正相关，总成功数比固定成功率的二项分布更分散。

在一个合成四次试验模型中，先为整组抽取 $P\sim \mathrm{Beta}(1,1)$，再给定 P 独立做四次伯努利试验。平均成功率为二分之一，但四次全成功的概率不是 $(1/2{)}^4$，而是 $𝔼P^4=1/5$。共享 P 的不确定性使整组同时倾向成功或失败。

混合密度的积分

设 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$、$\alpha ,\beta >0$。给定 $P=p$ 后，$K\mid p\sim \mathrm{Binomial}(n,p)$，先验 $P\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$。对 $k=0,\dots ,n$， $$Pr(K=k)={\int }_0^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\frac{p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}\mathrm{d}p=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{B(\alpha +k,\beta +n-k)}{B(\alpha ,\beta )}.$$ 这是在所有 n+1 个计数上为正的质量函数。将有限求和移到积分内，二项概率之和为一，再积分归一化贝塔密度，得到总概率一。$n=0$ 时 K 恒为零。

在主例 $\alpha =\beta =1,n=4$ 中，贝塔积分为 $B(k+1,5-k)=k!(4-k)!/5!$，因此与二项式系数相乘后，各计数都等于 $1/5$。图中均匀的五根柱，正是共享均匀 P 后的结果。

共享 P~Beta(1,1) 后每个成功总数概率为1/5，固定 p=1/2 更集中。

额外方差来自共享概率

记 $m=\alpha /(\alpha +\beta )$、$\kappa =\alpha +\beta$。贝塔矩给出 $\mathrm{Var}(P)=m(1-m)/(\kappa +1)$。全期望与全方差公式于是给出 $$𝔼K=n𝔼P=nm,$$ $$\mathrm{Var}(K)=𝔼[np(1-p)]+\mathrm{Var}(nP)=nm(1-m)+n(n-1)\mathrm{Var}(P)=nm(1-m)\frac{n+\kappa }{1+\kappa }.$$ 中间一步利用 $𝔼[P(1-P)]=m(1-m)-\mathrm{Var}(P)$。相对于 $\mathrm{Binomial}(n,m)$，多出的项是 n(n−1) 倍的概率方差。

若 $Y_i$ 表示单次结果，对不同 i、j，条件独立使 $𝔼[Y_i{Y}_j\mid P]=P^2$，故 $\mathrm{Cov}(Y_i,Y_j)=\mathrm{Var}(P)$，相关系数为 $1/(\kappa +1)$。主例相关为 $1/3$，成功总数均值二、方差二；固定 p=1/2 的四次二项计数方差只有一。

n=4，α=β=κ/2；虚线一是固定概率二项方差，混合方差从上方趋近。

固定均值 m 增大浓度 κ，会减弱共享概率带来的额外变异，并在 $\kappa \to \mathrm{\infty }$ 时趋近固定概率二项模型。作为变式，改用 $\mathrm{Beta}(2,2)$、仍做四次试验，则均值仍为二，方差为 $4\cdot (1/4)\cdot 8/5=8/5$，全成功概率为 $B(6,2)/B(2,2)=1/7$。它介于主例的1/5与固定概率二项的1/16之间。

组内共享与逐次重抽不同

如果每次试验都独立重抽一个 $P_i\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$，并在各自 P_i 下生成 Y_i，那么积分后 Y_i 仍彼此独立，且每次成功率为 m，总数就回到 $\mathrm{Binomial}(n,m)$。共享一个 P 与各次独立重抽 P_i，虽使用同样的贝塔边际，却有不同的联合机制。

在贝叶斯预测中，若成功概率的后验为贝塔分布，未来一组条件独立试验的总成功数也服从对应贝塔二项分布。直接把后验均值代入二项分布会遗漏上述额外方差。对本族的使用仍需检查固定组大小与组内条件独立等假设；它所产生的组内相关为非负，不能靠改变正形状参数描述任意负相关机制。