负二项分布与过度离散计数

负二项分布有“等到固定次数成功所需失败数”和“均值可变的事件计数”两种常见表述。建模竞赛中的奖牌数、事故数或到访数通常使用后一种：同类单位的事件发生强度有未观测差异，计数的条件方差因此可能大于条件均值，称为过度离散。这不是见到几个大数就自动给数据贴上的标签。

从泊松计数看异常波动

设八个可比区域的月事件数是 $0,0,1,1,2,2,3,7$，总数 16，样本均值 $\overline{y}=2$。按分母 7 计算的样本方差是 $$s^2=\frac{2(0-2{)}^2+2(1-2{)}^2+2(2-2{)}^2+(3-2{)}^2+(7-2{)}^2}{8-1}=\frac{36}{7}\approx \mathrm{5.14.}$$ 方差明显大于均值，提示同一均值的泊松模型可能低估尾部波动，但八个区域远不足以单凭 $s^2>\overline{y}$ 判定生成机制。若有些区域人口是别人的十倍，先要使用暴露人口或观察时长；若存在季节、重复计数或区域之间的相互影响，也应优先把这些结构写进模型，而非先改分布名字。

泊松—伽马混合的推导

令某区域真实事件强度为 $\Lambda$，在给定强度时 $N\mid \Lambda \sim \mathrm{Poisson}(\Lambda )$。假设不同区域的 $\Lambda$ 服从伽马分布，均值 $E\Lambda =\mu$，方差 $\mathrm{Var}(\Lambda )=\alpha {\mu }^2$，其中 $\alpha >0$ 描述额外异质性。由全期望公式，$EN=E[E(N\mid \Lambda )]=\mu$；由全方差公式， $$\mathrm{Var}(N)=E[\mathrm{Var}(N\mid \Lambda )]+\mathrm{Var}[E(N\mid \Lambda )]=E\Lambda +\mathrm{Var}(\Lambda )=\mu +\alpha {\mu }^2.$$ 第一项是固定强度下泊松计数本身的波动，第二项是区域强度不同造成的额外波动。这种伽马—泊松混合的边际分布就是常用的负二项计数模型；当 $\alpha$ 趋近 0、区域强度趋于固定时，分布趋向泊松。

取 $r=1/\alpha$，则计数 $n=0,1,2,\dots$ 的概率可写为 $$Pr(N=n)=\frac{\Gamma (n+r)}{\Gamma (r)n!}{\left(\frac{r}{r+\mu }\right)}^r{\left(\frac{\mu }{r+\mu }\right)}^n.$$ 这个参数化的均值为 $\mu$，方差 $\mu +{\mu }^2/r$。它与“等到第 $r$ 次成功之前失败了多少次”的传统表述相容，但这里允许非整数 $r>0$，不能把每个区域强行想成真的在重复掷硬币。

相同均值下的零与尾部

取 $\mu =2$、$r=1$（即 $\alpha =1$），负二项概率简化为 $Pr(N=n)=\frac{1}{3}(\frac{2}{3}{)}^n$，于是 $Pr(N=0)=1/3$；同均值的泊松分布有 $Pr(N=0)=e^{-2}\approx 0.135$。图中两者均值一样，负二项在零附近与较大计数端有更多概率质量，中间若干计数相应更少。不能仅靠这张理论图断言具体数据必然服从哪一个分布。

相同均值不意味着相同的零计数与极端大计数概率。

回归中的检查

在回归里可令 ${\mu }_i=t_i\exp (x_i^{𝖳}\beta )$，其中 $t_i$ 是每个单位的暴露时间或人口尺度，$x_i$ 是解释变量；这样比较的是同等暴露下的事件率。拟合后按暴露、地区或年份分组，比较观测和预测的均值、零比例及高分位计数，并检查是否有少数聚集事件支配了 $\alpha$。若大量结构性零来自“根本不可能发生事件”的一群单位，需要考虑两阶段或零膨胀机制；负二项增加方差并不会自动解释所有的零。

参考资料与相关词条

• NIST 报告：负二项计数回归、过度离散与方差形式。
• 相关：泊松分布、全期望公式、全方差公式、线性模型。