全期望公式

把两类人的平均等待时间直接相加，通常得不到全体的平均等待时间：还要知道每类占多少人。全期望公式把“先按已知情形分组，再在组内求平均”的过程写成精确等式。它不要求各组的分布相同，也不要求分组与所研究的量独立。

两条服务通道的平均时间

一处服务点的来访者中， $60 %$ 走通道 A，平均停留 $2$ 小时； $40 %$ 走通道 B，平均停留 $5$ 小时。任取一位来访者，其停留时间记为 $X$ ，通道记为 $G$ 。若分组比例对总体有代表性，那么总体均值是 $E [X] = 0.6 \times 2 + 0.4 \times 5 = 3.2 小时 .$ 不能计算 $(2 + 5) / 2 = 3.5$ ：那会偷偷假定两条通道各占一半。图把每组比例画成宽、组内平均时间画成高；两块面积相加就是总体平均时间。

宽度分别为百分之六十和百分之四十的两个矩形，高分别为二小时和五小时，矩形面积之和等于三点二小时 — 按人群占比加权：A 贡献 1.2 小时，B 贡献 2 小时，总体平均为 3.2 小时。

这个算式不是在说每个人花 $3.2$ 小时，也没有说明等待时间是否拥挤或存在长尾。均值只是分布的一个特征；要设计服务能力，还要看排队过程与分位数。

按事件分组的定理与证明

设 $A_{1}, \dots, A_{k}$ 是互不相交且合起来覆盖全部可能结果的一组事件，每组概率为正； $X$ 可积，即 $E [| X |] < \infty$ 。则 $E [X] = \sum_{i = 1}^{k} P (A_{i}) E [X ∣ A_{i}] .$ 对于离散型 $X$ ，把条件均值定义展开即可看见公式的来历： $\begin{matrix} \sum_{i} P (A_{i}) E [X ∣ A_{i}] & = \sum_{i} P (A_{i}) \sum_{x} x P (X = x ∣ A_{i}) \\ = \sum_{x} x \sum_{i} P (X = x, A_{i}) \\ = \sum_{x} x P (X = x) = E [X] . \end{matrix}$ 倒数第二步用到 $A_{i}$ 构成划分，所以每一种 $X = x$ 的概率都恰被分到某个组，既不重算也不漏算。连续情形把求和换成相应积分，前提仍是条件分布与积分存在。

条件期望作为随机变量

若不是有限个组，而是知道另一个随机变量 $Y$ 的值，可以先计算 $m (Y) = E [X ∣ Y]$ ：观察到不同的 $Y$ 时，条件均值会改变，因此 $m (Y)$ 本身是随机变量。再对它求平均，得到迭代期望定律 $E [E [X ∣ Y]] = E [X] .$ 前面按通道求均值就是 $Y = G$ 只取 A、B 两值的特例。若 $X$ 与 $Y$ 独立，条件均值碰巧恒等于 $E [X]$ ；独立不是公式成立的条件。

全期望还能导出全概率公式：对事件 $B$ 取指示变量 $X = 1_{B}$ ，有 $E [1_{B}] = P (B)$ 、 $E [1_{B} ∣ A_{i}] = P (B ∣ A_{i})$ ，于是 $P (B) = \sum_{i} P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .$ 这说明两个公式是一套分组思想在不同问题中的表达，而不是两条互不相关的记忆口诀。

在数据中怎样使用

若只有组内样本均值，必须先说明 $0.6$ 和 $0.4$ 是总体比例还是样本比例。便利抽样可能让某一组被过度采集；直接用样本构成加权，就会估错总体。社会调查中可把已知总体组别比例作为权重，但仍须检查组内抽样偏差与缺失数据。给出总体均值时也要报告单位、分组规则和每组样本量。

若分组同时影响均值和波动，还需全方差公式区分组内差异与组间差异。总体均值相同的两套人群，排队尾部或风险水平可以完全不同。

参考资料与相关词条

MIT《Introduction to Probability》第一部分，第 6、7、13 讲，条件期望与迭代期望。
先修：随机变量、期望、条件概率；相关：全概率公式、条件期望、全方差公式。