逆高斯分布

逆高斯分布（inverse Gaussian distribution）是正值连续分布，可描述带正漂移布朗运动第一次到达固定正水平的时间。本文采用均值参数 $\mu >0$、形状参数 $\lambda >0$，记作 $\mathrm{IG}(\mu ,\lambda )$。名称中的“逆”不表示正态变量的倒数；正态变量可以取负，其倒数也不符合这里的支撑。

一个合成到达模型从零开始，每单位时间平均前进一单位，同时叠加单位扩散强度的布朗波动。首次到达水平二的时间 T 服从 $\mathrm{IG}(2,4)$。平均到达时间为二，但某次路径可能较早越过，也可能长时间徘徊；“时刻二的位置是否超过水平”与“时刻二以前是否曾超过水平”是不同事件。

密度、CDF与归一化

定义密度 $$f(x)=\sqrt{\frac{\lambda }{2\pi x^3}}\exp [-\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}],x>0.$$ 负半轴上为零，闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$，零点无原子。在 SciPy 中，这组参数对应 invgauss(mu=μ/λ, scale=λ, loc=0)，其名为 mu 的软件参数不是本文的均值 μ。

可由下列CDF直接验证归一化。记 $\Phi$ 为标准正态CDF，对 $x>0$， $$F(x)=\Phi (A(x))+e^{2\lambda /\mu }\Phi (B(x)),$$ $$A(x)=\sqrt{\lambda }(\sqrt{x}/\mu -1/\sqrt{x}),B(x)=-\sqrt{\lambda }(\sqrt{x}/\mu +1/\sqrt{x}).$$ 因为 $B^2-A^2=4\lambda /\mu$，正态密度满足 $e^{2\lambda /\mu }\varphi (B)=\varphi (A)$。又有 $A^{\prime }+B^{\prime }=\sqrt{\lambda }{x}^{-3/2}$，所以 $$F^{\prime }(x)=\varphi (A)(A^{\prime }+B^{\prime })=\sqrt{\frac{\lambda }{2\pi x^3}}{e}^{-\lambda (x-\mu {)}^2/(2{\mu }^{2}x)}=f(x).$$ 在零右侧 A、B 都趋向负无穷，F 趋向零；在正无穷处 A 趋向正无穷、B 趋向负无穷，F 趋向一。密度因而非负且总积分一。数值计算时不宜直接让巨大指数与极小正态尾相乘，可使用软件的CDF或对数尾函数。

λ 增大使相同均值下的分布更集中，λ 不是原尺度的标准差。

由归一化密度求拉普拉斯变换

把指数展开为 $-\lambda x/(2{\mu }^2)+\lambda /\mu -\lambda /(2x)$。对 $q\ge 0$，令 ${\mu }_q=\mu /\sqrt{1+2{\mu }^{2}q/\lambda }$，则乘上 $e^{-qx}$ 后，只需把密度的均值参数改为 ${\mu }_q$，并提出常数： $$e^{-qx}{f}_{\mu ,\lambda }(x)=e^{\lambda /\mu -\lambda /{\mu }_q}{f}_{{\mu }_q,\lambda }(x).$$ 对 x 积分，利用新密度仍归一化，便得 $$L(q)=𝔼e^{-qX}=\exp \left[\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1+\frac{2{\mu }^{2}q}{\lambda }})\right].$$ 对数的一、二阶导在零处为 $-\mu$ 与 ${\mu }^3/\lambda$，分别给出均值和方差：$𝔼X=\mu$、$\mathrm{Var}(X)={\mu }^3/\lambda$。密度在正无穷按指数衰减、在零附近由 $e^{-\lambda /(2x)}$ 压低，故所有实数阶矩都存在。固定 μ 增大 λ 会减小方差。

首次到达的参数对应

设 $B_t$ 是标准布朗运动，$Z_t=vt+\sigma B_t$，其中 $v>0,\sigma >0$。首次到达正水平 $a>0$ 的时间，其密度为 $$f_T(t)=\frac{a}{\sigma \sqrt{2\pi t^3}}\exp [-\frac{(a-vt{)}^2}{2{\sigma }^{2}t}].$$ 这一首次到达结论使用布朗运动的停止时间理论；本文引用它，而上面的分布归一化与矩计算已独立给出。比较两个指数和前因子，恰好得到 $\mu =a/v$、$\lambda =a^2/{\sigma }^2$。

主例 $a=2,v=1,\sigma =1$ 给出均值二、方差二。在截止时间二处，CDF为 $$Pr(T\le 2)=\frac{1}{2}+e^4\Phi (-2\sqrt{2})\approx \mathrm{0.627698.}$$ 超过一半的概率不与均值二矛盾；该分布右偏。图标出这个累计概率。

CDF在均值处不必等于一半；标记 F(2) 的解析正态尾计算值。

作为变式，把水平提高到四，保持 v、σ 不变，则均值变成四、形状变成十六，方差为 $4^3/16=4$。不能只把 μ 加倍而固定 λ，因为这将对应另一种扩散机制。若漂移不为正，是否最终到达以及到达时间分布的归一化会改变，不能不加条件地套用这里的正参数首次到达解释。