酒吧博弈

酒吧博弈通常指 El Farol 酒吧问题：人们想去一家不拥挤的酒吧，却必须在不知道其他人本周决定的情况下选择去或不去。Brian Arthur 的原始研究把它用于讨论有限理性与不断调整的预测规则。下面先给一个五人、单轮的简化拥挤博弈，算清静态均衡；再说明它和原始的多周预测问题有什么区别。

五个人、两个舒适名额

五人同时选择“去”或“留在家”。若包括自己在内的到场人数不超过 2，去者得 2；超过 2 则得 −1。留在家的人总得 0。这个收益表是教学设定，数字只用于精确说明拥挤阈值。

假如恰有两人去：他们各得 2，改为留家只得 0；另外三人若单独改去，总到场人数会变成 3，自己从 0 变成 −1。没人愿意单方改选，所以任意恰好两人去的配置都是纳什均衡，共有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$ 个。若只有一人去，一名留家者改去可得 2；若三人或更多人去，一名去者改留家可从 −1 升到 0。因此其它到场人数都不是纯策略均衡。

对称随机选择

若每个人独立地以同一概率 $p$ 去，自己考虑去时，另外四人中去的人数 $X$ 服从 $\mathrm{Bin}(4,p)$。只有 $X=0$ 或 1 时，自己去了仍不拥挤。记这个概率为 $F(p)$，便有 $$F(p)=Pr(X\le 1)=(1-p{)}^4+4p(1-p{)}^3.$$ 去的期望收益是 $2F(p)-1[1-F(p)]=3F(p)-1$，留家的期望收益是 0。两种行动都以正概率采用时必须无差别，故 $F(p)=1/3$。在 $0\le p\le 1$ 上，$F$ 从 1 严格下降到 0，方程有唯一根，约为 $p=0.4863$。例如代入 $p=0.5$，$F=5/16=0.3125<1/3$，去的期望收益略低于零，说明根确实小于 0.5。

这个对称混合均衡是每个人事先独立随机化的概率方案。平均到场人数约为 $5p=2.4315$，不等于每次恰好两人到场；有些夜晚会拥挤，有些夜晚会冷清。下图把“去”的期望收益画成随 $p$ 下降的曲线，与留家收益 0 的交点就是上面的根。

拥挤风险增大时，去酒吧的期望收益下降。

原始问题的预测反馈

Arthur 描述的是人们每周看过往到场人数、采用不同的经验预测，再决定下一周是否前往。若所有人信同一种公开预测：“人少”，便容易一起涌入；预测“人多”，又可能一起留家。预测会改变它要预测的对象。我们的五人模型没有学习、记忆和预测规则，只保留“去的人多时去的收益下降”这一机制。因此静态均衡算式不能冒充 Arthur 模型的时间演化或经验结论。

参考资料

• W. Brian Arthur，〈Inductive Reasoning and Bounded Rationality: The El Farol Problem〉，《American Economic Review》，1994，原始论文。
• W. Brian Arthur：El Farol 问题介绍，作者对预测反馈与自组织的说明。