障碍模型

障碍模型（hurdle model）把计数分成“是否超过零”和“已经超过零时取多少”两个部分。第二部分必须是正整数上的分布，不能再次产生零。零膨胀泊松模型允许泊松状态偶然为零，障碍模型则把全部零都交给第一部分，两个机制因而有不同的参数含义。

设合成的一天访问记录以概率0.4出现至少一次访问；一旦出现，次数按参数二的泊松分布在正整数上的条件分布产生。这里的0.4已经是正值总概率，二却不是正值时的条件均值，因为条件化删除了泊松分布的零。

截断后的概率必须重新分配

以泊松正值部分为例，令 $0\le q\le 1$ 表示越过零障碍的概率，$\lambda >0$。定义 $$Pr(Y=0)=1-q,Pr(Y=k)=q\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k/k!}{1-e^{-\lambda }},k=1,2,\dots .$$ 分母 $1-e^{-\lambda }$ 是普通泊松变量为正的概率。正整数质量之和恰为q，再加零点质量1−q，得到一。当q为零时支撑仅为零、λ不可识别；q为一时零点没有质量；当 $0<q<1$ 时正概率支撑为全部非负整数。模型也可换用其他零截断计数族；本篇数值、矩和似然均限于这个泊松障碍版本。

主例q=0.4、λ=2给出 $$Pr(Y=0)=0.6,Pr(Y=1)=\frac{0.4\cdot 2e^{-2}}{1-e^{-2}}\approx 0.125214114,Pr(Y=2)=\mathrm{0.125214114.}$$ 正值质量合计0.4。图中先画条件于正值的质量，再画乘q后的无条件质量，二者各自应加到一和0.4，不能混用纵轴含义。

λ=2；条件正值各质量合计一，乘q=0.4后合计0.4。图只显示一至八。

条件矩与总体矩

令 $Z\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$，记 $d=1-e^{-\lambda }$。由于零点对Z和Z的平方的期望都没有贡献， $$𝔼(Z\mid Z>0)=\frac{\lambda }{d},𝔼(Z^2\mid Z>0)=\frac{\lambda +{\lambda }^2}{d}.$$ 于是 $$𝔼Y=\frac{q\lambda }{d},\mathrm{Var}(Y)=\frac{q(\lambda +{\lambda }^2)}{d}-{\left(\frac{q\lambda }{d}\right)}^2.$$ 主例的条件正值均值约2.313035285，总体均值约0.925214114，方差约1.919621185。q固定时，λ趋向零的正值部分集中在一，整个模型趋向一个成功率q的伯努利变量；截断分母也趋向零，计算小λ时可用 -expm1(-lambda) 避免相近浮点数相减。

两部分似然如何分开

设观测相互独立且共享q、λ，有n个观测，其中m个正数，正数总和为s。除去与参数无关的阶乘项， $$\ell (q,\lambda )=(n-m)\log (1-q)+m\log q+s\log \lambda -m\lambda -m\log (1-e^{-\lambda }).$$ 端点约定 $0\log 0=0$；若相应观测个数为正而模型给它的概率为零，对数似然取负无穷。前两项只含q，后几项只含λ，所以可以分别拟合。若 $0<m<n$，第一部分最大值在 $\hat{q}=m/n$。对正值部分求导，得到 $$\frac{\partial \ell }{\partial \lambda }=\frac{s}{\lambda }-\frac{m}{1-e^{-\lambda }}.$$ 故内部最优解满足 $s/m=\lambda /(1-e^{-\lambda })$。右侧从一严格增加到无穷，因为其导数的分子为 $1-(1+\lambda )e^{-\lambda }>0$，最后一个不等式来自 $e^{\lambda }>1+\lambda$。正观测均值大于一时有唯一正解，可用二分法；若所有正观测都是一，则上确界在λ趋向零的边界；若m为零，根本没有λ的信息。

例如记录 $(0,0,0,1,2)$，n=5、m=2、s=3，故 $\hat{q}=0.4$，正部分方程为 $\lambda /(1-e^{-\lambda })=1.5$，解约为0.874217466。它不是将全体均值0.6直接当λ，也不是将正值均值1.5直接当λ。

样本正值均值1.5对应λ约0.874217，而不是λ=1.5。

与零膨胀的交点和区别

零膨胀泊松模型的正值部分也与截断泊松成比例。它可改写成障碍形式，但需满足 $q=(1-\pi )(1-e^{-\lambda })$，因而同一个λ下只能有 $q\le 1-e^{-\lambda }$。障碍模型允许q自由变化，也能描述低于普通泊松的零概率。当 $q=1-e^{-\lambda }$ 时，公式恰恢复普通泊松分布。

变式。 保持λ为二，把q从0.4改为0.8。正值条件分布完全不变，所有正整数无条件质量和总体均值都翻倍，零质量从0.6变为0.2。若另取λ=0.5、q=0.95，零概率只有0.05，低于普通参数0.5泊松分布的约0.606531；这是上述非负π的零膨胀混合无法在相同λ下表达的情形。

两种模型的名称不能替代机制检查。第一部分若来自一次是否参与的决策、第二部分来自参与后的次数，障碍解释较直接；若所有记录共享一个偶然计数过程、另有必零状态，混合解释更直接。模型应同时接受正数分布、观察时长和独立性方面的检验，不能只按零个数作选择。