零膨胀泊松模型

零膨胀泊松模型（zero-inflated Poisson model，ZIP）把“必定为零”的状态与一个普通泊松计数状态混合。泊松状态本身也能产生零，所以一次零观测不能直接揭示它来自哪一种状态。模型可以只含两个常数参数，也可以让状态概率和计数强度各自依赖特征。

考虑一组合成设备时段：以概率0.3，设备处于一个完全不产生缺陷的状态；其余0.7的时段，缺陷数按均值二的泊松分布产生。最终零缺陷的概率大于0.3，因为第二种状态也可能偶然没有缺陷。

两个来源的零

令 $S\sim \mathrm{Bernoulli}(\pi )$ 表示必零状态，$Z\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$ 与S独立。定义 $Y=(1-S)Z$，其中 $0\le \pi \le 1$、$\lambda >0$。则 $$Pr(Y=0)=\pi +(1-\pi )e^{-\lambda },Pr(Y=k)=(1-\pi )e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},k=1,2,\dots .$$ 概率和为 $\pi +(1-\pi )\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda }{\lambda }^k/k!=1$。当 $\pi <1$ 时正概率支撑为全部非负整数；$\pi =1$ 时只剩零，λ无法从观测识别。$\pi =0$ 恢复普通泊松分布。本文的π始终表示必零状态概率，有的资料把互补概率作为混合参数，比较公式前应先确认。

主例 $\pi =0.3,\lambda =2$ 中，两个零来源的质量为 $$0.3,0.7e^{-2}\approx \mathrm{0.094734698.}$$ 因此 $Pr(Y=0)\approx 0.394734698$，正值总概率约0.605265302。由贝叶斯公式，观测到零后的必零状态概率为 $$Pr(S=1\mid Y=0)=\frac{\pi }{\pi +(1-\pi )e^{-\lambda }}\approx \mathrm{0.760004128.}$$ 它仍不是一。若观测到正数，则必定来自泊松状态；这两个推断方向不同。

同一个零观测有两个潜在来源；两柱相加为约0.394735。

均值、方差与过度分散

条件于S，Y的均值为 $(1-S)\lambda$，方差为 $(1-S)\lambda$。全期望与全方差给出 $$𝔼Y=(1-\pi )\lambda ,\mathrm{Var}(Y)=(1-\pi )\lambda +\pi (1-\pi ){\lambda }^2.$$ 第二项来自两种状态均值的差异。主例均值为1.4，方差为2.24；普通 $\mathrm{Poisson}(1.4)$ 的方差只有1.4，零概率约0.246596964。这里的“膨胀”不仅相对于λ为二的泊松部分成立，也相对于相同总体均值的普通泊松分布成立。

后一个结论可由凸性直接证明。令 $m=(1-\pi )\lambda$，则 $$\pi +(1-\pi )e^{-\lambda }\ge e^{-(1-\pi )\lambda }=e^{-m}.$$ 这是对凸函数 $e^{-x}$ 在0和λ处应用加权凸性；当 $0<\pi <1,\lambda >0$ 时严格大于。因此，这个模型不能描述相同均值下零概率更低的计数分布。

两分布均值相同，混合模型零质量更大、方差也更大。只画零到八，尾部未截断归一。

似然与可以辨认的量

给定相互独立、共享参数的观测 $y_1,\dots ,y_n$，令零个数为 $n_0$、正数个数为 $n_{+}=n-n_0$，对数似然是 $$\ell (\pi ,\lambda )=n_0\log [\pi +(1-\pi )e^{-\lambda }]+n_{+}\log (1-\pi )-n_{+}\lambda +\sum _{y_i>0}[y_i\log \lambda -\log (y_i!)].$$ 端点采用扩展对数约定：没有相应观测的项按 $0\log 0=0$ 处理，若模型给某个实际观测的概率为零，则整个对数似然为负无穷。零项保留混合和，不能擅自把每个零都算为必零状态。从理论完整质量函数看，正值相邻质量之比满足 $p_{k+1}/p_k=\lambda /(k+1)$（k至少为一），所以在非退化情形可以识别λ，再由正值总质量识别π；有限样本中正数很少时，两参数估计仍可能不稳定。

变式。 保持λ为二，把π降到零。此时总体均值、方差都回到二，零概率变为 $e^{-2}\approx 0.135335283$。若反而令π为0.6，则均值为0.8、方差为1.76、零概率约0.654134113。较大的必零概率既提高零质量，也降低总体均值，并非只在原分布零点上额外加一根柱而让其他概率不变。

回归形式常令 $\mathrm{logit}({\pi }_i)=z_i^{𝖳}\gamma$、$\log {\lambda }_i=x_i^{𝖳}\beta$。这时应按各自参数对每个独立观测写似然，不能先把所有零比例压成同一个π。数据中零很多也可能来自未记录的异质性、相关观测或错误的观察时长；零膨胀的数学拟合本身不证明真实设备存在一个可永久识别的必零类别。