需求价格弹性

需求价格弹性（price elasticity of demand）比较需求量的相对变化与价格的相对变化。它回答“价格增加约百分之一，需求量会怎样变化”，而不是只问“价格增加一元，少买几份”。讨论时要保持影响需求的其他条件不变，并说明所用的是一点附近的弹性，还是两个价格之间的平均变动指标。

同样少卖两份，相对影响可以不同

沿用一个标准化印刷资料包市场的合成需求： $Q (p) = 50 - p / 2$ ，价格 $p$ 的单位为元/份，需求量 $Q$ 的单位为份/日。本篇在 $0 < p < 100$ 内计算，确保价格和需求量都为正；这不是对真实市场的估计。

价格从40提高到44，需求从30减到28。若以初始值为基数，价格上升10%，数量下降约6.67%。同样提高4元，从80到84时数量由10减到8，价格只上升5%，数量却下降20%。两次斜率都为 $Δ Q / Δ p = - 1 / 2$ ，相对影响却不同。

百分比让结果不依赖“元还是角”“份还是百份”的记数单位。若只比较斜率，换一个坐标单位就会改变数值，不能据此比较不同商品的响应程度。

从相对变化到点弹性

在正价格 $p$ 处给一个很小的变化 $Δ p$ ，先分别除以各自基数： $\frac{Δ Q / Q (p)}{Δ p / p} = \frac{p}{Q (p)} \frac{Δ Q}{Δ p} .$ 若 $Q$ 在此处可微，令 $Δ p \to 0$ ，得到带符号的点弹性 $ε (p) = \frac{p Q^{'} (p)}{Q (p)} .$ 下降需求的 $Q^{'} (p) < 0$ ，所以 $ε < 0$ 。经济学常把下降需求的弹性报告为非负大小，本文记 $E (p) = - ε (p) = - \frac{p Q^{'} (p)}{Q (p)} .$ 因此本文说“弹性为1.5”时，意思是小幅提价1%约使需求量减少1.5%，方向没有消失，而是写进了“减少”。如果考察非下降关系，应直接保留带符号的 $ε$ ，不能机械地套用“必定减少”。两种记号约定需要在引用数值时对齐。OpenStax §5.1给出了常用的弹性大小约定。

代入本例， $E (p) = \frac{p / 2}{50 - p / 2} = \frac{p}{100 - p} .$ 价格40时为 $2 / 3$ ，50时为1，60时为 $3 / 2$ 。一条直线可以在不同位置有不同弹性；固定的是导数，变化的是比例因子 $p / Q$ 。

同一条直线逆需求上，价格20数量40处弹性四分之一，价格50数量25处为1，价格80数量10处为4。 — 直线斜率不变，点弹性仍沿线变化。

$E > 1$ 称为富有弹性， $0 \leq E < 1$ 称为缺乏弹性， $E = 1$ 称为单位弹性。它们是对局部相对变化的分类，不是给商品贴永久标签。在本例中价格趋向100时需求趋向零，弹性越来越大；到端点 $Q = 0$ 已不能用原定义除以需求量。价格为零时相对价格变化也失去通常意义，即使代数式有极限，也应与端点处的定义区分。

若换用新单位 $\tilde{p} = a p$ 、 $\tilde{Q} = b Q$ （ $a, b > 0$ ），链式法则给出 $\frac{\tilde{p}}{\tilde{Q}} \frac{d \tilde{Q}}{d \tilde{p}} = \frac{a p}{b Q} \frac{b}{a} Q^{'} = \frac{p}{Q} Q^{'} .$ 两种单位系数抵消，这才是弹性无量纲的数学理由。

两个价格相距不小时，用哪个基数

40元到44元这段变化，若从40出发算普通百分比，弹性大小为 $(2 / 30) / (4 / 40) = 2 / 3$ ；反过来从44回到40，得到 $(2 / 28) / (4 / 44) = 11 / 14$ 。结果不同，原因是百分比的基数改变，而不是同一段数据互相矛盾。

中点法用两端平均数作共同基数： $E_{a r c} = - \frac{(Q_{2} - Q_{1}) / [(Q_{1} + Q_{2}) / 2]}{(p_{2} - p_{1}) / [(p_{1} + p_{2}) / 2]} .$ 在价格和数量都为正、价格不同且需求下降时，此式给非负的弧弹性。代入 $(p_{1}, Q_{1}) = (40, 30)$ 、 $(p_{2}, Q_{2}) = (44, 28)$ ： $E_{a r c} = \frac{2 / 29}{4 / 42} = \frac{21}{29} \approx 0.7241.$ 交换两端，分子分母同时反号，结果不变。本例是线性需求，中点法恰等于中点价格42处的点弹性；一般非线性需求没有这个恒等式。点弹性、弧弹性与一个较大区间的预测因此不应混为一谈。

提价时，少卖和多收怎样相抵

总收益是 $R (p) = p Q (p)$ 。从40元到44元，原收入为 $40 \times 30 = 1200$ ，新收入为 $44 \times 28 = 1232$ 。可以把32元增量拆成两块：仍卖出的28份每份多收4元，增加112；不再售出的2份各少收原来的40元，减少80。

两个同尺度价格数量矩形分别为30乘40等于1200和28乘44等于1232，涨价收益112超过少卖损失80。 — 矩形的高是价格，宽是数量，面积才是收入。

局部的抵消关系可以用乘积求导准确表达： $R^{'} (p) = Q (p) + p Q^{'} (p) = Q (p) [1 - E (p)] .$ 在 $Q > 0$ 下，若 $E < 1$ ，小幅提价使收益增加；若 $E > 1$ ，小幅提价使收益减少。若 $E = 1$ ，一阶收益变化为零，是否为极大值还需看两侧符号或更高阶项。相关经济解释见 OpenStax §5.3。

本例可以完整算出 $R (p) = 50 p - \frac{1}{2} p^{2} = 1250 - \frac{1}{2} (p - 50)^{2} .$ 所以价格50、数量25时收入最高1250。价格40与60的收入都为1200，但前者局部提价能增加收益，后者局部提价会减少收益。图中的同高两点和峰值之间的关系，正是弹性分类的一个可复算解释。

收入随价格呈开口向下的抛物线，在价格50达到1250；价格40和60对应相同收入1200。 — 收入相同的两个价格，可以具有相反的局部提价效果。

价格从60增加10%到66，需求由20降至17，收入从1200降至1122。这是一个有限幅度的直接复算；一般需求函数若只知道某一点弹性，不能在很大价格区间反复套用同一个百分比近似。

常弹性与定价决策的边界

一个有用的对照是 $Q (p) = A p^{- e}$ ，其中 $A > 0, e > 0, p > 0$ 。求导后 $- \frac{p (- e A p^{- e - 1})}{A p^{- e}} = e,$ 弹性处处相同。它与线性需求的差别来自函数形式，不是坐标画得更陡或更平。若 $e = 1$ ，收入 $p Q = A$ 在整个区间恒定；这也是“单位弹性不一定对应唯一收益最大点”的例子。此模型在极端价格下可能不适用，必须保留估计区间与实际约束。

收入最大不等于利润最大，因为减少产量还会改变成本。成本收益与利润的同一需求例中，收入最大在25份，而计入成本后的利润最大在18份。弹性关系也不自动提供因果估计：如果涨价同时伴随旺季、质量升级或买方增加，观察到的销量变化不能全部归给价格。用数据估计时应交代时间范围、其他条件以及不确定性，再用统计推断评估证据。

参考资料

OpenStax，Principles of Microeconomics 3e，§5.1：弹性的相对变化含义、符号约定与中点法。
OpenStax，同书 §5.3：需求弹性与总收益的联系。
先修：导数、函数；相关：供需模型、成本收益与利润。