韦布尔分布

韦布尔分布（Weibull distribution）是一族定义在非负半轴上的连续分布，常用其形状参数区分随时间上升、保持不变或下降的瞬时失效率。本文采用无位置平移的寿命形式：形状 $k>0$、尺度 $\lambda >0$，记作 $\mathrm{Weibull}(k,\lambda )$。该尺度不是指数分布的率。

设某个教学寿命模型的生存概率为 $S(t)=e^{-(t/10{)}^2}$，时间以小时计。十小时后仍工作的概率为 $e^{-1}$；已工作十小时的个体再工作五小时的概率，则需把十五小时的生存概率除以十小时的生存概率，不能直接照搬五小时的生存概率。

生存函数与失效率

对 $t\ge 0$ 定义 $$S(t)=Pr(T>t)=e^{-(t/\lambda {)}^k},F(t)=1-S(t).$$ 在 $t>0$ 处求导得到密度 $$f(t)=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{t}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(t/\lambda {)}^k}.$$ 负半轴上累积分布为零，密度也为零。由 $F(0)=0$、$F(\mathrm{\infty })=1$ 和密度非负可见分布归一化；闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$，零点没有原子。

在已存活到 $t$ 的条件下，下一小段时间失效的概率为 $[F(t+\Delta t)-F(t)]/S(t)$。除以 $\Delta t$ 再取极限，得到失效率 $$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=\frac{k}{\lambda }(t/\lambda {)}^{k-1}.$$ 所以 $k>1$ 时随时间增加，$k=1$ 时恒为 $1/\lambda$，$0<k<1$ 时随时间下降。失效率的单位是每小时，它可以超过一，因为它是局部速率而非一个区间的概率。

k=2 的失效率线性上升；k=1 恒定。曲线高度的单位是每小时。

指数变换与矩

令 $Y=(T/\lambda {)}^k$。对 $y\ge 0$， $$Pr(Y>y)=Pr(T>\lambda y^{1/k})=e^{-y}.$$ 因此 $Y$ 服从率一的指数分布；反过来，$T=\lambda Y^{1/k}$ 构造了韦布尔随机变量。这还给出从均匀随机数生成它的方法：若 $U\sim \mathrm{Uniform}(0,1)$，取 $T=\lambda (-\log U{)}^{1/k}$。

用该变换计算实数阶矩，得到 $$𝔼[T^r]={\lambda }^r{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{r/k}{e}^{-y}\mathrm{d}y={\lambda }^r\Gamma (1+r/k),r>-k.$$ 所有非负整数阶矩都存在。特别地，均值为 $\lambda \Gamma (1+1/k)$，方差为 ${\lambda }^2[\Gamma (1+2/k)-\Gamma (1+1/k{)}^2]$。尺度不是一般意义上的均值；它总是满足 $F(\lambda )=1-e^{-1}$ 的那个分位点。

已经存活之后的概率

开头模型取 $k=2,\lambda =10$。在已工作十小时的条件下，再工作五小时的概率为 $$Pr(T>15\mid T>10)=\frac{S(15)}{S(10)}=\exp [-(1.5{)}^2+1]=e^{-1.25}\approx \mathrm{0.286505.}$$ 而新个体工作五小时的生存概率为 $e^{-0.25}\approx 0.778801$。两者差异与上升失效率相符。此模型均值为 $10\Gamma (3/2)=5\sqrt{\pi }\approx 8.862269$ 小时，方差为 $100-25\pi \approx 21.460184$ 平方小时。

条件概率是 S(15)/S(10)，比较的是纵坐标之比。

作为变式，保持尺度十而令 $k=1$。条件生存概率变为 $S(15)/S(10)=e^{-0.5}=S(5)$，恰好恢复指数分布的无记忆性。对一般 $k$，无记忆等式要求 $(s+t{)}^k=s^k+t^k$ 对所有正数成立，取 $s=t$ 已迫使 $2^k=2$，即 $k=1$。

韦布尔失效率只有上述单调或恒定三种形式。若数据生成机制确有先降后升的浴盆形失效率，单个二参数韦布尔模型无法精确表示；仅有一张右偏直方图也不足以确定形状。这里讨论非负寿命的最小值形式，极值理论中的反向韦布尔最大值形式具有不同方向的支撑，比较名称时应核对密度和端点。