频率与概率

频率是已做试验中事件出现的次数比例；概率是为某个随机机制中的事件赋予的数。两者密切相关，却不是同一份数据的两种写法。把一枚理想公平骰子重复投掷，掷出 6 的理论概率是 $p = 1 / 6$ ；投了 36 次得到 4 次“6”，这一次的频率为 $4 / 36 = 1 / 9$ 。不能因为频率不是 $1 / 6$ 就推断骰子一定不公平。

重复试验中的波动

令第 $k$ 次试验的指标 $I_{k}$ 在出现 6 时取 1，否则取 0。做 $n$ 次后的频率是 $f_{n} = (I_{1} + \dots + I_{n}) / n$ 。假定每次按同一机制独立进行，则 $E (I_{k}) = p$ 、 $Var (I_{k}) = p (1 - p)$ ；不同次指标的协方差为 0，因此 $E (f_{n}) = p, Var (f_{n}) = \frac{p (1 - p)}{n}, SD (f_{n}) = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} .$ 对“掷出 6”，36 次时这个标准差约为 $0.0621$ ，144 次时约为 $0.0311$ 。样本量乘四，典型波动尺度约减半，但不是每增加一次投掷，实际频率就必定更接近 $1 / 6$ 。

某一条掷骰示意频率路径围绕水平的六分之一概率线波动，前期起伏大，后期整体较稳 — 一条试验路径可反复穿过理论概率线；概率线不是频率每次都要到达的目标。

在上述独立同分布条件下，大数定律进一步说：随着试验次数增长，频率偏离 $p$ 一个固定正数的概率趋于零。它并不保证有限次数时频率一定等于 $p$ ，也不表示前面多次没掷出 6 后下一次更容易掷出。下一次仍是 $1 / 6$ ，前提仍是每次独立且骰子机制不变。

把概率当作模型来核对

频率可用于检查理想模型是否符合数据。例如某骰子掷了 600 次，出现 6 达 300 次，频率 $0.5$ ，远离公平骰子的 $1 / 6$ ；应检查骰子、记录和试验方式，而不是强行说“再投几次一定会回到六分之一”。相反，6 次里出现两次 6 的频率 $1 / 3$ 并不足以单独说明骰子有问题。判断证据强弱，样本量与试验设计都重要。

练习：把 36 次增加到 324 次，在同样的独立模型下，频率标准差成为原来的多少？因为 $SD (f_{n}) \propto 1 / \sqrt{n}$ ，样本量变为 9 倍，标准差变为三分之一。

参考资料

OpenStax，Introductory Statistics 2e，§4.2：概率模型、长期频率与大数定律。
继续阅读：概率、事件独立性、大数定律、随机模拟。