马尔可夫不等式

对非负随机变量 $X$，若 $EX<\mathrm{\infty }$，马尔可夫不等式给任意 $a>0$ 一个上界： $$P(X\ge a)\le \frac{EX}{a}.$$ 它只使用平均值，不要求知道完整分布。例如某非负等待时间均值为 10 分钟，可断言等待至少 50 分钟的概率不超过 $10/50=0.2$；这是上界，不是实际概率。

一行证明的含义

在事件 $\{X\ge a\}$ 上，$X\ge a$；在其外 $X\ge 0$。因此逐个结果都有 $X\ge a{\mathrm{𝟏}}_{\{X\ge a\}}$。两边取期望得 $EX\ge aP(X\ge a)$，除以正数 $a$ 即得结论。非负性恰用于事件之外的那一步，若允许负值便不能直接这样比较。

取 $X=100$ 的概率为 0.1，其余时间为 0，则 $EX=10$；在阈值 $a=100$ 处，左右两边同为 0.1，界可以取等号。若想约束 $|Y-\mu |$ 的尾概率，可把非负变量选为 $(Y-\mu {)}^2$，便得到切比雪夫不等式。

参考资料

• MIT 18.05，Probability Inequalities 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：切比雪夫不等式、期望。