鲁歇定理

鲁歇定理（Rouché's theorem）允许在闭曲线边界上，把一个复杂的全纯函数与较简单的函数比较，从而确定内部零点总数。它计的是按重数相加的零点数，不提供每个零点的精确位置。

设 $f,g$ 在分段光滑简单闭曲线及其内部的一个开邻域内全纯。若边界每一点都有 $$|g(z)|<|f(z)|,$$ 则 $f$ 和 $f+g$ 在内部具有相同的零点数，重数均计入。严格不等式同时保证 $f$ 和 $f+g$ 在边界非零。

边界不穿过零的证明

在证明中，将边界 $\gamma$ 取为逆时针方向。对 $0\le t\le 1$ 定义 $F_t=f+tg$。在边界上，三角不等式给出 $$|F_t(z)|\ge |f(z)|-t|g(z)|>0.$$ 边界与参数区间都紧致，函数的这些边界值与零保持正距离，因此 $$n(t)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{{F_t}^{\prime }(z)}{F_t(z)}dz$$ 连续依赖 $t$。由辐角原理，每个 $n(t)$ 都是内部零点重数之和，取整数值。连续函数从连通区间映入整数集，只能为常数，所以 $n(0)=n(1)$，定理得证。

这一论证允许内部零点相遇、分裂或改变位置；只要边界没有零点通过，内部总重数不变。不需要先证明每个根能够单独连续编号。

五次方程的两层定位

取 $p(z)=z^5+3z+1$。先在单位圆上选择 $f=3z$、$g=z^5+1$。由 $$|f|=3,|g|\le 1+1=2<3,$$ 可知 $p$ 与 $3z$ 在单位圆内部零点数相同，恰为一个。这里计数一也意味着该零点是简单零点。

再在半径二的圆上，换成 $f=z^5$、$g=3z+1$，有 $$|f|=32,|g|\le 6+1=7<32.$$ 所以半径二以内共有五个零点。两条边界都没有零点，故环域 $1<|z|<2$ 恰有另外四个，均按重数计。相同多项式在不同半径下应选择不同的主导项，不能总把最高次幂当成唯一比较对象。

边界不等式只确定区域中的重数总和；图中数字是计数，未假造五个根的精确位置。

实根与复根的信息如何配合

本例对实数 $x$ 有 $p^{\prime }(x)=5x^4+3>0$，因此实轴上严格递增。又 $p(-1)=-3$、$p(0)=1$，介值定理给出一个实根，并由严格单调性知它唯一。鲁歇定理则说明单位圆内总共也只有一个复根，所以这就是单位圆内的那个根；其余四根在上述环域，且因实系数而成共轭对。

在实数 $-1/3$，多项式值为 $-1/243<0$，所以该实根进一步落在 $(-1/3,0)$。这项缩小来自实函数的额外性质，不能仅从复边界的计数读出来。

变式。 对 $q(z)=z^4+z+1$，在 $|z|=3/2$ 上有 $$|z^4|=81/16>5/2\ge |z+1|.$$ 因此四个零点都在半径 $3/2$ 的圆内。如果改用单位圆，估计只得到 $|z+1|\le 2$，不足以比一小；这表示这组比较没有给出结论，而不是定理断言圆内没有根。

严格性与适用边界

若边界只满足不严格的大小关系，简单形式不能直接使用。例如单位圆上取 $f(z)=z$、$g(z)=-1$，两者模相等，$f+g=z-1$ 在边界上有零点。连续变形的某一时刻已经碰到零，前面连续整数计数的证明失效。

被比较函数必须在内部全纯；若含有极点，应先处理极点或使用适合亚纯函数的计数形式。数值抽查边界若干点也不能替代对整条边界的严格界，除非同时建立采样之间的误差控制。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.4.2（Rouché定理、边界变形及零点计数）。