黎卡提方程

黎卡提方程（Riccati equation）是未知函数以二次项出现的一阶常微分方程，通常写成 $y^{'} = a (t) y^{2} + b (t) y + c (t)$ 。它是非线性方程，但与二阶线性方程有直接联系；若已知一个特解，也能把其余解的求解化成一阶线性问题。转换过程中出现的分母同时记录了解可能发散的位置。

二次变化率与解的存在区间

以无量纲方程 $y^{'} = y^{2} - 1$ 为例。变化率在 $y = \pm 1$ 时为零，在两者之间为负，在区间外为正。所以初值 $y (0) = 0$ 的解向下变化，而初值为二的解向上增长。前者不会穿过平衡解；后者则可能在有限时间内超出任何界。

一般地，设 $a, b, c$ 在开区间 $I$ 连续。右端关于 $y$ 的偏导为 $2 a (t) y + b (t)$ ，在每个紧矩形上有界，因而局部满足利普希茨条件。任意 $t_{0} \in I$ 与有限初值都给出唯一的局部解。然而“局部唯一”没有保证整个 $I$ 上解都有限。若 $a \equiv 0$ ，方程退化为一阶线性方程；讨论非退化的二次项时，应说明所取区间上 $a \neq 0$ 。

同一黎卡提方程中零初值解趋于负一，二初值解在有限时间爆破 — 方程 y′=y²−1 的两条解。虚线 y=±1 是平衡解；初值为二的解只画到其有限爆破时刻之前。

用一个特解降低非线性

设已知一个特解 $y_{p}$ 。对与它不相交的另一解，令 $y = y_{p} + \frac{1}{v} .$ 这里 $v$ 必须非零。将两者的方程相减，而不是直接把代换当成结论： $- \frac{v^{'}}{v^{2}} = a (\frac{2 y_{p}}{v} + \frac{1}{v^{2}}) + \frac{b}{v} .$ 乘以 $v^{2}$ 并移项，得到 $v^{'} + (2 a y_{p} + b) v = - a .$ 这已经是一阶线性方程。积分因子为 $μ (t) = \exp (\int_{t_{0}}^{t} (2 a y_{p} + b) d s)$ ，因此 $v (t) = μ (t)^{- 1} [v (t_{0}) - \int_{t_{0}}^{t} a (s) μ (s) d s] .$ 用它恢复 $y$ 时，只能取 $v \neq 0$ 的连通区间。原特解 $y_{p}$ 应单独保留；它不是某个有限 $v$ 的像。上面的降阶来自直接代换，恢复解时必须重新检查分母。

在开篇的方程中，取 $y_{p} = 1$ ，线性方程成为 $v^{'} + 2 v = - 1$ 。积分得到 $v = C e^{- 2 t} - \frac{1}{2}, y = 1 + \frac{1}{C e^{- 2 t} - 1 / 2} .$ 若 $y (0) = 2$ ，则 $v (0) = 1$ ，从而 $C = 3 / 2$ 。解是 $y (t) = 1 + \frac{2}{3 e^{- 2 t} - 1}, t < \frac{1}{2} \log 3.$ 初值所在的最大区间向左无界，向右到 $t_{*} = (\log 3) / 2 \approx 0.549306$ 为止。分母趋于零时，解趋于正无穷。不能越过这个时刻，把右边另一段公式也称作通过原初值的有限实值解。

二阶线性方程与对数导数

假设 $a$ 连续可微且处处非零， $b, c$ 连续。令 $u$ 是不为零的辅助函数，取 $y = - \frac{u^{'}}{a u} .$ 记 $w = u^{'} / u$ ，则 $w^{'} = u^{″} / u - w^{2}$ 。由 $y = - w / a$ 可算出 $y^{'} = - \frac{u^{″}}{a u} + \frac{w^{2}}{a} + \frac{a^{'} w}{a^{2}} .$ 将 $a y^{2} + b y + c = w^{2} / a - b w / a + c$ 代入并消去相同的平方项，得到 $u^{″} - (b + \frac{a^{'}}{a}) u^{'} + a c u = 0.$ 这是二阶线性齐次方程。反过来，在其非零解 $u$ 的任意无零点区间上，对数导数代换都给出黎卡提方程的解。把 $u$ 乘以非零常数不会改变 $y$ ，这解释了一阶方程与二阶方程的积分常数数目并不矛盾。

本例对应 $u^{″} - u = 0$ 。对 $y (0) = 0$ ，可选 $u (0) = 1, u^{'} (0) = 0$ ，于是 $u = \cosh t$ ，得到 $y = - \tanh t$ 。直接复核： $y^{'} = - {sech}^{2} t = \tanh^{2} t - 1 = y^{2} - 1$ ，且初值为零。由于 $\cosh t > 0$ ，这条解在整个实轴上都有限。

辅助线性解在爆破点过零，其对数导数不能跨过零点 — 取 u(t)=cosh t−2sinh t，则 u(0)=1、u′(0)=−2。u 的零点正是二初值黎卡提解的爆破时刻；u 本身仍是光滑的线性方程解。

NIST 的艾里函数资料给出另一种具体联系：若 $u^{″} = t u$ ，则 $W = u^{'} / u$ 满足 $W^{'} + W^{2} = t$ 。此处对数导数的正负号与本文一般代换取决于平方项的写法，使用公式前必须对照方程。^[1]

变式、限制与相关模型

把算例初值改为 $y (0) = - 2$ ，同样得到 $v (0) = - 1 / 3$ 、 $C = 1 / 6$ ，所以 $y (t) = 1 + \frac{6}{e^{- 2 t} - 3}, t > - \frac{1}{2} \log 3.$ 此解向未来趋于 $- 1$ ，向过去才发生爆破。决定有限时间发散的不能只有方程中的二次项，还包括初值所在的区域和时间方向。

黎卡提型结构也出现在阻滞增长模型 $P^{'} = r P - (r / K) P^{2}$ ，以及线性二次最优控制中的矩阵黎卡提方程。后者的未知量是矩阵，乘法有顺序，不能把标量积分因子和除法原样搬过去。已知特解的代换是一种条件明确的求解工具，也没有保证任意变系数黎卡提方程都能用初等函数表示。

参考资料

↑ NIST. DLMF §9.2(vi): Riccati Form of Differential Equation，式9.2.16与对数导数关系。

[dlmf-1] NIST. DLMF §9.2(vi): Riccati Form of Differential Equation，式9.2.16与对数导数关系。

[1]