利普希茨连续

利普希茨连续（Lipschitz continuity）是对函数变化速度的一种统一限制：任意两个输入之间的输出距离，不超过输入距离的某个固定倍数。它比普通连续和一致连续要求更强，但不要求函数处处可导。它常用于估计误差、证明迭代收敛，以及判断微分方程的初值是否确定唯一轨迹。

例如，绝对值函数在原点有尖点，却不会把输入误差放大超过一倍；平方根函数在零附近虽然连续，相同的输入误差却可能被放大很多倍。这两个例子能说明，曲线是否光滑与变化率是否具有统一上界是两个不同问题。

定义与常数

设 $A\subset {ℝ}^n$，$f:A\to {ℝ}^m$。若存在有限常数 $L\ge 0$，使 $$\Vert f(x)-f(y)\Vert \le L\Vert x-y\Vert \text{对所有 }x,y\in A,$$ 则称 $f$ 在 $A$ 上利普希茨连续，$L$ 称为一个利普希茨常数。本文使用欧氏范数；一般度量空间中把范数距离换成相应度量即可。对于至少有两个点的集合，最小可用常数是 $${\mathrm{Lip}}_A(f)=\underset{x,y\in A,x\ne y}{sup}\frac{\Vert f(x)-f(y)\Vert }{\Vert x-y\Vert }.$$ 这个上确界可以为无穷；有限才满足上述定义。常数是否可用，取决于整个声明的集合，而非只看一个点附近的图像。定义及其与可微性的关系见 Jerrard 的讲义。

在开集内，若每个点都有一个邻域，使函数限制在这个邻域上有有限常数，则称局部利普希茨连续。各邻域允许使用不同常数。相对某一指定集合的全部点统一使用一个常数，则称在该集合上全局利普希茨连续；“全局”不一定指整个欧氏空间。

绝对值：尖点仍可有界变化

对任意实数 $x,y$，三角不等式给出 $|x|\le |x-y|+|y|$，交换 $x,y$ 再写一次，便得到 $$||x|-|y||\le |x-y|.$$ 所以 $f(x)=|x|$ 在全实线上可取 $L=1$。取 $x=1,y=0$ 时等号成立，任何更小常数都不够，因此最优常数恰为一。

固定一点 $x_0$ 后，定义也可写为 $$f(x_0)-L|x-x_0|\le f(x)\le f(x_0)+L|x-x_0|.$$ 图像必须处于这两条折线围出的区域中。这个区域从一个点控制周围的变化，但完整定义要求对每一个基点都成立，不能只检查图中画出的那一个。

基点 x₀=1/2、f(x₀)=1/2。虚线为由 L=1 给出的上、下界；尖点并未破坏 L=1 的约束。

平方与平方根的范围差异

令 $R>0$，对 $x,y\in [-R,R]$，分解差平方可得 $$|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le 2R|x-y|.$$ 因此平方函数在该区间上可取 $L=2R$。当 $x=R,y=R-h$、$h\downarrow 0$ 时，差商为 $2R-h$，趋近 $2R$，说明这个常数最优。

在整个实线上，取 $x=n+1,y=n$，输入距离为一，输出差为 $2n+1$，没有统一的有限上界。所以平方函数处处局部利普希茨，但在全实线上不满足全局条件。若输入只能处于 $[-3,3]$，误差 $|\delta x|\le 0.01$ 且两个输入都在区间中，则输出误差至多为 $0.06$。这一误差界应随使用范围一同报告。

对 $f(x)=\sqrt{x}$、$0\le x\le 1$，取 $y=0,x=h>0$，差商为 $$\frac{|\sqrt{h}-0|}{|h-0|}=\frac{1}{\sqrt{h}}⟶\mathrm{\infty }.$$ 所以它在该区间不利普希茨。输入从零变为 $10^{-4}$，输出从零变为 $10^{-2}$，放大倍数已经达到一百；再缩小输入，还能得到更大的倍数。

在 0<x<1/4 上，√x>2x，故 L=2 不能控制从零出发的变化。任何有限 L 都会在足够靠近零处失败；证明来自差商发散。

它仍有较弱的统一控制。若 $x\ge y\ge 0$，则 $$(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2=x+y-2\sqrt{xy}\le x-y,$$ 因为 $y\le \sqrt{xy}$。于是 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le |x-y{|}^{1/2}$，这是指数为 $1/2$ 的 Hölder 条件。反过来，若避开零、限制到 $[a,1]$、$a>0$，则 $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le \frac{1}{2\sqrt{a}}|x-y|.$$ 失败来自靠近零的范围，不是平方根在所有区间都无法控制。

连续性、导数与复合

当 $L>0$ 时，若希望输出距离小于 $\epsilon$，只需把输入距离限制为小于 $\epsilon /L$。这一选择与基点无关，故利普希茨连续蕴含一致连续；若 $L=0$，函数在定义域上为常量，同样一致连续。平方根例子说明逆命题不成立。

在实区间上，若函数可导且 $|f^{\prime }|\le M$，由拉格朗日中值定理可得 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$。更一般地，设 $U$ 为开凸集，$f\in C^1(U,{ℝ}^m)$，导数矩阵的算子范数满足 $\Vert Df(z)\Vert \le M$。连接 $x,y$ 的线段始终在 $U$ 内，因而 $$f(y)-f(x)={\int }_0^{1}Df(x+s(y-x))(y-x)\mathrm{d}s.$$ 取范数并积分，得到 $\Vert f(y)-f(x)\Vert \le M\Vert y-x\Vert$。凸性在这里保证积分路径可用。反过来，若函数具有常数 $L$ 且在某个内点可微，将差商取极限即可得该点 $\Vert Df\Vert \le L$。可导不是必要条件，绝对值已给出反例。Lipschitz 条件在迭代和误差估计中的使用可参见 Bindel 的讲义。

若 $f$ 的常数为 $L_f$，$g$ 在 $f(A)$ 上的常数为 $L_g$，连续应用两次估计便得到 $$\Vert g(f(x))-g(f(y))\Vert \le L_g{L}_f\Vert x-y\Vert .$$ 例如原输入在 $[-3,3]$，先做绝对值，再在所得的 $[0,3]$ 上平方，可得到整体常数上界六。但这种相乘给出的是可用上界，不保证一定最小；若某一步在实际像集上为常量，整个复合的最优常数甚至为零。

初值问题的唯一性

设微分方程为 $x^{\prime }=F(t,x)$。常用的局部存在唯一性定理要求 $F$ 对 $(t,x)$ 连续，并在初始点附近对状态变量 $x$ 局部利普希茨，常数对该小时间区间一致。这比仅要求右端连续更强，但并不保证解在无限时间内都不爆破。有关初值唯一性及较弱条件的讨论见 Ryzhik 的讲义。

唯一性的关键估计可以直接展开。设两条解 $x(t),y(t)$ 留在同一个常数为 $L$ 的区域内，$t\ge t_0$。将方程积分，记 $d_0=\Vert x(t_0)-y(t_0)\Vert$，得到 $$\Vert x(t)-y(t)\Vert \le d_0+L{\int }_{t_0}^t\Vert x(s)-y(s)\Vert \mathrm{d}s=:w(t).$$ 有 $w^{\prime }\le Lw$、$w(t_0)=d_0$。因此 $(e^{-L(t-t_0)}w(t){)}^{\prime }\le 0$，推出 $$\Vert x(t)-y(t)\Vert \le d_0{e}^{L(t-t_0)}.$$ 同一初值使 $d_0=0$，两条解便只能重合。这同时给出初始误差如何传播的上界；它不声称实际误差一定按这个最坏速率增长。

仅有连续性时，可出现从同一初值出发的多条轨迹。对 $$x^{\prime }=\sqrt{|x|},x(0)=0,t\ge 0,$$ 任意 $a\ge 0$ 都给出一条解 $$x_a(t)=\{\begin{array}{cc}0,& 0\le t\le a,\\ (t-a{)}^2/4,& t\ge a.\end{array}$$ 在拼接点，两侧导数都是零，所以它确实是一阶连续可导解；另有永远为零的解。右端在零附近不利普希茨，轨迹可以先停留任意长时间再离开。

同一初值与同一连续右端，得到 a=0、a=1 及恒零解。利普希茨条件提供唯一性的充分保障；条件不成立时仍需分析具体方程。

非利普希茨并不自动意味着不唯一，也不意味着模型必然无用；它意味着上述线性误差估计不再直接适用。判断某个初值是否唯一，要检查具体右端及其他可用条件，而不能只凭一张很陡的曲线下结论。