可检测性

可检测性（detectability）表示可以从系统的输出构造一个渐近正确的状态估计器。对连续时间有限维线性时不变系统，等价条件是所有不可观测模态都严格稳定；没有被传感器看见的误差可以存在，但它必须自行消失。

缺失的信息与衰减的误差

取 $\dot{x}=Ax$，$A=\mathrm{diag}(-2,1)$，输出 $y=x_2$。第一状态不会出现在任何输出中，因此整个状态并不可观测。然而，若估计第一状态为零，其误差就是 $e^{-2t}{x}_1(0)$，会随时间衰减；第二状态已由输出给出。这是不可观测但可检测的例子。

相反，取 $A=\mathrm{diag}(1,-2)$、$y=x_2$，则第一状态既不可见又增长。两个初态 $(0,0)$ 与 $(1,0)$ 产生完全相同的零输出，却分别产生零状态与 $(e^t,0)$。任何只接收相同输出的确定性估计器，都无法同时对这两个初态做到误差趋零。

观测器形式与必要充分条件

对 $\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$，定义 $(C,A)$ 可检测，若存在 $L\in {ℝ}^{n\times p}$，使 $A-LC$ 的全部特征值实部负。相应龙伯格观测器的误差满足 $\dot{e}=(A-LC)e$。注意 $B$ 不出现在这一判据中，因为真实系统和估计器使用同一个已知输入。

令不可观测子空间为 $𝒩=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker (C{A}^k)$。它在 $A$ 下不变；在其中，$LCx=0$，所以任何输出注入都无法改变其自主动态。若这个限制动态稳定，再对可观测部分配置观测器极点即可使整个误差稳定。这个分解论证给出判据 $$(C,A)\text{可检测}⟺A{|}_{𝒩}\text{严格稳定}.$$ 它也是可稳定性的对偶：$(C,A)$ 可检测，当且仅当 $(A^{𝖳},C^{𝖳})$ 可稳定。PBH形式为 $$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{c}\lambda I-A\\ C\end{array}\right)=n(\mathrm{Re}\lambda \ge 0).$$ 若有非零右特征向量 $Av=\lambda v$ 且 $Cv=0$，这个模态就不可观测；可检测性只允许这种特征值落在左半平面。

具体增益与边界

在第一例中 $C=(0,1)$，取 $L=(0,3{)}^{𝖳}$，于是 $$A-LC=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right).$$ 两种误差都以 $e^{-2t}$ 衰减，虽然第一种误差从未通过测量纠正。图中的对角结构把“反馈纠正”和“自主消失”分开了。

不可观测部分的误差衰减来自系统自身，不是传感器重新发现了它。

变式。 若第一对角元从 $-2$ 改为零，则该误差保持初值不变，不能趋零，所以不再可检测。离散时间将严格稳定条件改为特征值模小于一。上述结论是结构判据，不保证有限时刻误差已经很小，也不保证模型失配和有噪测量下的最优估计性能。