2019年国赛A题：高压油管的压力控制

2019年国赛A题：高压油管的压力控制是2019年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的A题。高压油泵把燃油从入口A送入高压油管，再由喷嘴B喷出。供油和喷油均为间歇过程，会引起管内压力波动；题目要求控制这些过程，使压力接近规定目标。

问题1：控制供油单向阀的开启时间

以一次喷油开始后的时间计，喷油速率按以下过程变化，速率单位为mm³/ms：前0.2 ms从0线性升至20；在0.2—2.2 ms保持20；在2.2—2.4 ms线性降至0。其余未喷油时段的喷油速率为0。

本问包含两项要求：

选择单向阀每次开启的时长，使管内压力尽可能稳定在100 MPa附近。
将压力由100 MPa升至150 MPa，分别经历约2 s、5 s、10 s的调整过程后稳定在150 MPa。说明每种情况下单向阀开启时长应如何调整。

入口A的燃油改由高压油泵柱塞腔提供。凸轮驱动柱塞上下运动，凸轮边缘曲线随角度的变化见附件1。柱塞向上时压缩燃油；只有柱塞腔压力高于油管压力，连接两者的单向阀才开启并供油。

柱塞腔内直径为5 mm。柱塞到上止点时残余容积为20 mm³；到下止点时，压力为0.5 MPa的低压燃油充满柱塞腔，包括残余容积。

喷嘴由针阀控制：针阀直径2.5 mm，密封座为半角9°的圆锥，最下端喷孔直径1.4 mm。针阀升程为0时关闭，大于0时开启，燃油向喷孔流动并喷出。附件2给出一个喷油周期内针阀升程与时间的关系。

保留问题1的喷油频率、油管尺寸和初始压力，确定凸轮角速度，使高压油管压力尽可能保持在100 MPa附近。

在问题2的系统中增加一个喷嘴，两个喷嘴具有相同的喷油规律。研究此时供油与喷油策略应怎样调整。

进一步在油管D处加装单向减压阀，其圆形出口直径为1.4 mm。减压阀开启时，管内燃油可流回外部低压油路，降低油管压力。给出高压油泵与减压阀的控制方案。

题目给定：燃油压力的变化量与密度变化量成正比，比例系数为 $E / ρ$ 。这里 $E$ 是弹性模量，随压力的变化由附件3提供； $ρ$ 是燃油密度。在100 MPa时，燃油密度为0.850 mg/mm³。

小孔流量满足

$Q = C A \sqrt{\frac{2 Δ P}{ρ}} .$

其中 $Q$ 的单位为mm³/ms，流量系数 $C = 0.85$ ， $A$ 是小孔面积（mm²）， $Δ P$ 是小孔两侧压差（MPa），式中 $ρ$ 取高压侧的燃油密度（mg/mm³）。

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