F分布

F分布（F-distribution）是两个独立卡方变量分别除以自由度之后的比值分布。它的分子自由度和分母自由度次序不同，交换两者会得到倒数的分布。正态总体的独立样本方差比是其典型来源。

设两组独立正态误差各有五次观测，总体方差相同。若两组样本方差之比为三，这个比值是否偏大，取决于 $F_{4,4}$ 的右尾，而不能只把两个方差相减。每组用样本均值估计位置，所以自由度是四。

独立比值与密度

设 $U\sim {\chi }_{d_1}^2$、$V\sim {\chi }_{d_2}^2$ 相互独立，$d_1,d_2>0$。定义 $$X=\frac{U/d_1}{V/d_2}\sim F_{d_1,d_2}.$$ 记 $a=d_1/2$、$b=d_2/2$、$c=d_1/d_2$。在变量变换 $u=cxv$ 中，雅可比绝对值为 $cv$。将两个卡方密度相乘并对 $v$ 积分，得到 $$f_X(x)=\frac{c^a{x}^{a-1}}{2^{a+b}\Gamma (a)\Gamma (b)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{v}^{a+b-1}{e}^{-(1+cx)v/2}\mathrm{d}v.$$ 积分为 $\Gamma (a+b)[2/(1+cx){]}^{a+b}$，故 $$f_X(x)=\frac{c^a{x}^{a-1}}{B(a,b)(1+cx{)}^{a+b}},x>0.$$ 负半轴上为零，闭支撑是 $[0,\mathrm{\infty })$，零点无概率质量。这个推导从联合概率密度出发，也保证了归一化。

固定分子自由度四，改变分母自由度；F(4,4) 的方差不有限。

图中改变分母自由度会明显改变右尾。把 $d_1$、$d_2$ 只当作一个总样本量，会丢失这种差别。

贝塔变换与可积的矩

令 $T=cX/(1+cX)$，反解为 $X=T/[c(1-T)]$，导数为 $1/[c(1-T{)}^2]$。代入上式，所有 $1-T$ 的幂合并后得到 $$f_T(t)=\frac{t^{a-1}(1-t{)}^{b-1}}{B(a,b)},0<t<1.$$ 因此 $T\sim \mathrm{Beta}(a,b)$，累积分布为 $$Pr(X\le x)=I_{d_{1}x/(d_2+d_{1}x)}(a,b).$$ 同样的代换可直接算矩： $$𝔼[X^r]=c^{-r}\frac{B(a+r,b-r)}{B(a,b)},-a<r<b.$$ 条件来自零附近和一附近的两个可积性条件。特别地，均值存在需 $d_2>2$，等于 $d_2/(d_2-2)$；方差存在需 $d_2>4$，等于 $$\mathrm{Var}(X)=\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2{)}^2(d_2-4)}.$$ 这是由一、二阶贝塔积分相减所得；分母自由度为四时，分布有均值却没有有限方差。

方差比为三的计算

在开头模型下，若 $S_1^2,S_2^2$ 分别按分母四计算，则 $4S_j^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_4^2$，而两组独立，故 $S_1^2/S_2^2\sim F_{4,4}$。取 $x=3$，贝塔变换给 $t=3/4$。$\mathrm{Beta}(2,2)$ 的密度为 $6t(1-t)$，所以 $$Pr(X>3)=1-{[3t^2-2t^3]}_{t=3/4}=\frac{5}{32}=\mathrm{0.15625.}$$ 图中对应的生存函数在三处落到 $5/32$。这是事先把第一组放在分子后的单侧尾概率；看过数据后总把较大的方差放到分子，会改变统计量和检验规则。

尾概率由贝塔变换精确计算，点的位置为 (3,5/32)。

作为变式，原比值若为 $1/3$，交换分子分母后比值为三，而且 $1/X\sim F_{d_2,d_1}$。本例两自由度相同，于是 $Pr(X<1/3)=5/32$。按预先给定的双侧规则，两端对称尾面积之和为 $5/16$，而不是仍取 $5/32$。

独立性在密度推导的第一步就起作用。若直接令 $U=V\sim {\chi }_4^2$，比值恒为一，显然不是连续的 $F_{4,4}$。正态抽样条件也决定了样本方差比的精确 F 分布；偏态或重尾总体下不能仅由样本量相同沿用这个精确结论。