箱线图

箱线图（box plot，又称箱须图）用一个箱体、中位数线和两端的须概括一批数值的位置与分散程度，适合在相同尺度上比较多组数据。箱体两端通常对应第一、第三四分位数；须的画法有不同约定。本文采用明确的线性插值四分位数，以及“延伸到 1.5 倍四分位距围栏以内的最远实际观测”的须。

从十二次等候开始

下面十二个数表示十二次等候时间，单位为分钟。它们是为了演示计算而构造的合成数据，已按从小到大排列：

$$2,3,4,5,5,6,7,8,9,10,12,25.$$

最短为 2 分钟，最长为 25 分钟，但只报这两个数，会把大部分观察集中在 4 到 10 分钟附近的事实隐藏掉。先找排序后的中间位置：十二个数的中间是第六个 6 和第七个 7，因此中位数为

$$Q_2=\frac{6+7}{2}=\mathrm{6.5.}$$

它表示中间的分界，而不是所有时间相加后的平均。这里六个值在 6.5 以下，六个值在 6.5 以上。样本量为奇数时，中位数直接取正中间的观察；有重复值时，中位数两侧不一定各有严格一半不同的值。

只用中位数仍不知道这些观察挤得紧不紧。把排序位置继续分到四分之一和四分之三，就得到第一四分位数 $Q_1$ 与第三四分位数 $Q_3$。它们划出数据中部的一段范围。有限样本的“四分之一位置”常落在两个观察之间，因此需要说明插值规则。

四分位数怎样算：固定一种可复算的规则

本文所有图采用 R 的 quantile(..., type = 7) 所对应的线性插值规则。它把排好序的 $n$ 个观察记为 $x_{(1)}\le \cdots \le x_{(n)}$；括号下标表示排序位置，而不是某个观察的原始编号。要找比例位置 $p\in [0,1]$ 的分位数，先算

$$h=1+(n-1)p.$$

如果 $h$ 是整数，就取第 $h$ 个观察；如果 $h=j+g$，其中 $j$ 是整数部分、$0<g<1$，就取

$$Q(p)=x_{(j)}+g(x_{(j+1)}-x_{(j)}).$$

这表示从第 $j$ 个值向下一个值走完差距的 $g$ 部分。端点 $p=0,1$ 分别取最小值与最大值；仅有一个观察时，各分位数都等于那个值。这个算法并非唯一的样本分位数定义。R 官方文档列出九种方法，并明确其默认值为 type 7。R：Sample Quantiles，Type 7

对本例 $n=12$，第一四分位数的比例位置为 $p=0.25$，于是

$$h=1+11\times 0.25=\mathrm{3.75.}$$

第 3 个值为 4，第 4 个值为 5，在它们之间走四分之三的距离，得到

$$Q_1=4+0.75(5-4)=\mathrm{4.75.}$$

第三四分位数取 $p=0.75$，位置为 $1+11\times 0.75=9.25$。第 9、10 个值为 9、10，因此

$$Q_3=9+0.25(10-9)=\mathrm{9.25.}$$

把 $p=0.5$ 代入也会得到位置 6.5，插值得出前面的中位数 6.5。这样，最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值组成的五数概括为

$$(2,4.75,6.5,9.25,25).$$

另一种常见课堂约定是把偶数样本分成上下两半，分别取这两半的中位数。对同一组十二个数，它给出 $Q_1=(4+5)/2=4.5$、$Q_3=(9+10)/2=9.5$。差别来自约定，不能靠把小数四舍五入消除。尤其要注意，R 默认箱线图使用的上下“铰链”（hinges）也不总等于其默认 quantile 的四分位数；R 的箱线统计文档专门说明了偶数样本下的差异。R：Box Plot Statistics，Details

箱、围栏和须分别画在哪里

先画从 $Q_1=4.75$ 到 $Q_3=9.25$ 的箱体，再在 $Q_2=6.5$ 处画一条中位数线。箱体沿数轴方向的长度为四分位距：

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=9.25-4.75=\mathrm{4.5.}$$

本例在箱体两端之间有 5、5、6、7、8、9，共六个观察，恰好占一半。一般说箱体概括“中间约一半”数据更妥当：四分位数是位置摘要，有插值或大量重复值时，落在闭区间 $[Q_1,Q_3]$ 内的观察比例不一定正好是 50%。

接着计算两道围栏。围栏用于决定哪些点单独标出，它们的距离是箱体长度的 1.5 倍：

$$1.5\mathrm{IQR}=1.5\times 4.5=6.75,$$ $$L=Q_1-1.5\mathrm{IQR}=4.75-6.75=-2,$$ $$U=Q_3+1.5\mathrm{IQR}=9.25+6.75=16.$$

这里下围栏为负数不表示有人等候了负的时间；它只是按给定规则计算的界限。十二个观察里，2 到 12 都在 $[-2,16]$ 内，25 在外。因此下须伸到 2，上须伸到 12，25 另画一个点。

箱体、围栏与实际观察分开标示。虚线只帮助解释计算；通常成图可以不画围栏。下方点列保留全部十二次观察。

图中最值得核对的是 12 和 16：上须止于实际观察 12，而不是算出的围栏 16。 类似地，下须止于实际观察 2，而不是下围栏 −2。若恰有观察等于围栏，本文把它算在围栏以内。这与 R 文档中“不超过指定倍数”的须规则一致。五数概括里的最大值仍是 25；使用围栏以后，图上须的两个端点就不再总是样本最小值和最大值。

具体地，在数据里找出所有满足 $L\le x_i\le U$ 的观察，以其中最小者和最大者为须的终点；满足 $x_i<L$ 或 $x_i>U$ 的点另行标出。有些箱线图直接把须伸到最小值、最大值，有些使用指定百分位数。NIST 也分别介绍了极值须与带围栏的变式，所以读图时应先查看须的定义。NIST：Box Plot

一个离群点告诉了我们什么

25 被单独画出，准确含义是“按照当前四分位数与 1.5 IQR 规则，它超出了围栏”。它可能是一次真实的长等候，也可能来自不同服务情境、录入错误或测量问题；仅凭这个符号无法决定原因，更不能据此自动删除数据。应回查这次观察的单位、采集记录和发生条件，再决定怎样处理。NIST 的离群值章节也把识别、调查与处理区分开来。NIST：What are outliers in the data?

这个例子还能说明箱线图对极端大小的敏感程度。把最后的 25 改成 250，排序的前十一个位置都不变，$Q_1,Q_2,Q_3$ 也都不变，须仍在 2 和 12；单独标出的点移到了 250。平均数则会增加

$$\frac{250-25}{12}=\mathrm{18.75.}$$

平均数上升了 18.75 分钟。箱体较稳定，是因为这些分位数只依赖特定排序位置附近的值；这并不意味着更大的末端观察不重要。若关心最坏等待或总等待成本，那个远处的点恰恰不能被箱体代替。

1.5 是常用的描述规则，不是“出错概率为 5%”的阈值，也不保证所有总体有相同的离群点比例。对于 $0,0,0,0,10$，按本文规则 $Q_1=Q_2=Q_3=0$，四分位距为零，箱体缩成一条线，两道围栏也都在 0，10 会被标出。四个零可以是四次真实的零等待；这幅图既没有否定它们，也没有证明 10 是错误。它提示我们在这种重复值很多的数据里同时查看原始点列。

相同箱线图为什么可能来自不同分布

再比较两组合成数据，每组 17 个数，单位可以仍取分钟。A 组均匀地从 0 递增到 8，每次增加 0.5；B 组则在少数位置重复：

$$A:0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,$$ $$B:0,0,0,0,2,2,2,2,4,6,6,6,6,8,8,8,8.$$

因为 $n=17$，四分位数的位置分别是

$$1+16\times 0.25=5,1+16\times 0.5=9,1+16\times 0.75=13.$$

在两组中，第 5、9、13 个值都为 2、4、6，所以五数概括都为 $(0,2,4,6,8)$。四分位距均为 4，围栏为 −4 与 12，全部观察在围栏内，两组须都伸到 0 与 8。按本文规则画出的箱线图完全相同。

每一组的点列与箱线图放在一起。重复观测竖向堆叠，竖向位置只为避免重叠，不代表第二个变量。

看图中的点列，A 在 0 到 8 之间分散铺开；B 在 0、2、6、8 各堆了四个点，其余只有中间的 4。箱体保留了排序中的几个位置，却没有保留这些位置之间怎样分布。这个具体例子说明了为什么直方图或原始点图能补充箱线图：它们展示的是被五数摘要压缩掉的内部形状。

甚至箱体对称、两根须一样长，也不足以认定原始点列对称。把 A 中的 0.5 改成 0.2，第 5、9、13 个观察以及两端仍不变，箱线图原封不动；但 7.5 关于中位数 4 的对称位置 0.5 已经没有观察。仅凭箱线图的外形，也就不能认定数据来自正态分布。

用来比较多组时怎样读

若比较两家服务点的等待，先保持时间单位与数轴尺度相同，再比较中位数线的位置。中位数更靠右，说明这组的中间等待较长；箱体更长，说明从第一到第三四分位数之间更分散。须和单独的点补充两端的情况。

箱体垂直于数轴的厚度通常只是排版选择，本篇各图也是如此。它没有编码样本量，因此不能因为某个箱子画得粗一些，就说这一组人数更多。实际比较应把 $n$ 标在组名旁，并说明缺失记录与分组标准。一组只有五次观察、另一组有五百次观察，即使箱体碰巧相似，摘要的稳定程度也不同。

箱体是否重叠并不是通用的显著性检验。若要判断服务差异能否推广到总体，或是否由服务措施造成，还要使用统计推断并检查采样与研究设计。箱线图可以把值得追问的差异显出来，但图上两条中位数线的位置本身不提供随机化或因果证据。

探索性数据分析中的发展

John W. Tukey 在 1977 年的 Exploratory Data Analysis 第 2C 节系统介绍了箱线图这一数据摘要；R 的箱线统计官方文档把该书列为直接来源。1978 年，Robert McGill、Tukey 与 Wayne A. Larsen 在 The American Statistician 发表 Variations of Box Plots，讨论用箱宽体现组规模、用缺口辅助比较中位数等变式。R 官方参考书目；McGill、Tukey、Larsen，1978，32(1)：12–16

这些变式针对不同的比较任务；增加符号并不会让所有箱线图具有相同含义。普通箱线图先把中位数、四分位数、须和单独标出的点解释清楚，再按分析目的选择变式，便能保留这种摘要的简洁性。其他统计图的选择见统计图。

参考资料

• R Core Team，quantile：Sample Quantiles，Types 中的 Type 7：本文四分位数的计算规则。
• R Core Team，boxplot.stats：Box Plot Statistics：须、铰链与默认分位数的差别，以及相关原始文献。
• NIST/SEMATECH，e-Handbook of Statistical Methods，§1.3.3.7 Box Plot：基本箱线图与围栏变式。
• NIST/SEMATECH，§7.1.6 What are outliers in the data?：离群观察的识别和调查。
• Tukey, J. W.（1977），Exploratory Data Analysis，Addison-Wesley，§2C，ISBN 9780201076165；书目信息见上述 R 官方文档。
• McGill, R., Tukey, J. W., Larsen, W. A.（1978），Variations of Box Plots，The American Statistician，32(1)，12–16；犹他大学论文目录。