数学建模

数学建模（mathematical modeling）是为一个实际问题选择变量、提出假设、建立数学关系，并用观测与计算检验结果的过程。模型保留的是回答当前问题所需要的特征；预测下一分钟的水位，与研究整个水箱的流场，需要的模型可以很不相同。

水箱五分钟后有多高

假设我们每分钟记录一次水箱水位，想用前四次读数预测接下来两分钟。下面是一组专门构造的教学数据，不是实际设备的观测。前四点用于估计参数，后两点预先留作验证。

数据用途	时间 $t$（分钟）	水位 $h$（厘米）
训练	0，1，2，3	1.0，2.0，2.0，4.0
留出验证	4，5	4.6，5.8

水位总体上升，却不是每分钟都增加相同数值。可以先尝试一条直线描述平均趋势： $$\hat{h}(t)=at+b.$$ 符号 $\hat{h}$ 表示预测水位，区别于读数 $h$；参数 $a$ 是每分钟平均上升多少厘米，$b$ 是模型在零时刻的水位。若用厘米和分钟，$a$ 的单位是厘米每分钟，$b$ 的单位是厘米。

在计算斜率前，先要回答为什么选直线。如果短时间内净流入量和水箱截面积近似不变，直线有一个守恒关系的依据。

直线从哪里来

设水箱水平截面积为常数 $A$，水位 $h$ 对应体积 $V=Ah$。每分钟流入体积为 $q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$，流出体积为 $q_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$。没有其他漏失时，体积变化率等于净流入率： $$A\frac{dh}{dt}=q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-q_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}.$$ 若右边也是常数，对时间积分得到 $$h(t)=h(0)+\frac{q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-q_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}{A}t.$$ 与直线模型比较可知，斜率对应净流入率除以截面积，截距对应起始水位。

例如 $A=200\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$、净流入为 $180\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$，水位上升速率就是 $180/200=0.9\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$。这一数值说明参数怎样连接到物理量；仅凭水位读数还不能分别知道面积和流量，后面会回到这个问题。

实际读数可能含测量误差，净流量也可能有小波动，因此数据点不必都在同一直线上。接下来需要规定怎样从几条不同的候选直线中选出一条。

用四个训练点选出一条直线

对某条直线，每个训练点的残差定义为“读数减预测”：$r_i=h_i-a{t}_i-b$。采用最小二乘，就是选 $a,b$ 让残差平方和 $$S(a,b)=\sum _{i=1}^4(h_i-a{t}_i-b{)}^2$$ 最小。平方使正负偏差不会互相抵消，也使较大的偏差承担更高代价。

先固定斜率 $a$，对截距求导并令其为零： $$\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum _i(h_i-a{t}_i-b)=0.$$ 共有四点，因此 $4b=\sum _i{h}_i-a\sum _i{t}_i$。用横线表示平均数，便得到 $b=\overline{h}-a\overline{t}$。这说明拟合直线经过平均点 $(\overline{t},\overline{h})$。

把这个截距代回去，残差成为 $(h_i-\overline{h})-a(t_i-\overline{t})$。再对 $a$ 求导，令其为零： $$\sum _i(t_i-\overline{t})(h_i-\overline{h})-a\sum _i(t_i-\overline{t}{)}^2=0.$$ 只要时间点不全相同，第二个求和为正，就可解出 $$a=\frac{\sum _i(t_i-\overline{t})(h_i-\overline{h})}{\sum _i(t_i-\overline{t}{)}^2},b=\overline{h}-a\overline{t}.$$ 这是一个系数为正的二次目标，所得驻点也是唯一最小值。

本例平均时间为 $1.5$，平均水位为 $2.25$。时间偏差为 $-1.5,-0.5,0.5,1.5$，水位偏差为 $-1.25,-0.25,-0.25,1.75$。分子逐项相乘再相加： $$1.875+0.125-0.125+2.625=\mathrm{4.5.}$$ 分母为 $2.25+0.25+0.25+2.25=5$。所以 $$a=4.5/5=0.9,b=2.25-0.9\times 1.5=\mathrm{0.9.}$$ 得到预测式 $\hat{h}(t)=0.9t+0.9$。

拟合线没有穿过所有点。训练点用于估计参数，空心方形表示未参与拟合的后续时刻数据。

图中实心训练点用来确定直线；从点到直线的竖线就是残差。特别是两分钟处读数为二，而直线预测为 $2.7$，对应最长的一段向下偏差。空心方形是没有参与拟合的四、五分钟读数，用来检查预测。

拟合算对了吗，预测又怎样

在训练时刻，预测为 $0.9,1.8,2.7,3.6$，残差为 $0.1,0.2,-0.7,0.4$。平方和为 $$0.01+0.04+0.49+0.16=\mathrm{0.7.}$$ 均方根误差把平方和除以点数再开方，因此回到厘米单位： $${\mathrm{RMSE}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\sqrt{0.7/4}\approx 0.4183\mathrm{c}\mathrm{m}.$$ 残差还有两项可用于检查计算：和为零，与时间列的乘积和也为零。第二项是 $0\times 0.1+1\times 0.2+2\times (-0.7)+3\times 0.4=0$，它们正是前面两个求导方程。

现在才使用留出数据。四分钟与五分钟的预测分别为 $4.5,5.4$，读数为 $4.6,5.8$，残差为 $0.1,0.4$。留出误差为 $${\mathrm{RMSE}}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\sqrt{(0.1^2+0.4^2)/2}\approx 0.2915\mathrm{c}\mathrm{m}.$$ 它比训练误差小，可以是这两个点的偶然表现，并不矛盾。两个验证点提供了一次具体检验，还不足以说明更长时间内也有同样精度。

这里的两个问题应分开：正规方程和残差核对检验“最小二乘是否算对”；留出数据检验“这条直线能否预测未用于选择它的数据”。前者成立，不自动推出后者。若看了留出数据再调模型，就相当于又把这些数据用于选择，需要新的独立检验。

一个读数改动，对预测有什么影响

只把三分钟处的训练读数从 $4.0$ 改为 $4.1$，其他数据保持。由于时间没变，斜率分母仍为五。分子增量为 $$(3-1.5)\times 0.1=0.15,$$ 因为所有时间偏差之和为零，水位平均数的变化不会额外影响分子。因此斜率增加 $0.15/5=0.03$，新斜率为 $0.93$。水位均值增加 $0.1/4=0.025$，新截距为 $$2.275-0.93\times 1.5=\mathrm{0.88.}$$ 五分钟处的新预测为 $0.93\times 5+0.88=5.53$，比原来的 $5.4$ 增加 $0.13$。一个读数只改了 $0.1$，外推处的变化却稍大。

一般而言，参数变化给出 $\Delta \hat{h}(t)=t\Delta a+\Delta b$。随着预测时间增加，斜率偏差的影响被放大。若斜率偏高 $0.05$ 厘米每分钟、截距偏高 $0.1$ 厘米，十分钟处偏高 $0.6$ 厘米，五十分钟处偏高 $2.6$ 厘米。这是确定性的敏感性计算，若要把它解释为概率区间，还需统计误差模型。

哪些物理量能够由读数确定

回到守恒式，水位斜率只给出 $(q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}-q_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}})/A$。面积二百、净流量一百八十给出斜率 $0.9$；面积四百、净流量三百六十也给出同样斜率。无论再观察多久，仅凭相同的线性水位变化都分不开这两种解释。

这种不同参数产生同样预测的情形，称为参数不可识别。需要额外测量截面积或流量，才能分别确定它们；或者把可识别的比值直接作为一个参数。

即使只估计直线的斜率与截距，采样方式也重要。若四个读数都在同一时刻，公式分母 $\sum (t_i-\overline{t}{)}^2$ 为零，无法区分斜率与截距。若时刻非常接近，分母很小，同样大小的读数扰动会显著影响斜率。因此实验在哪些时刻采样，决定了数据能够回答什么问题。

残差什么时候提示要换模型

继续收集数据时，如果残差先负、后正、再负，形成系统的弯曲趋势，直线可能遗漏了水位变化的弯曲。如果随着时间推移残差持续增大，可能是流量或截面积不再稳定。如果只有某一点异常，则应先核对记录、单位与传感器状况。

例如出水口流量随水位上升而增加，净流入就不再是常数；瓶状水箱的截面积也可能随高度变化。守恒模型应相应改为 $$A(h)\frac{dh}{dt}=q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)-q_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}(h,t).$$ 水箱接近装满时，还需要处理容量与溢流。这样，修改模型的理由来自现象和机制，而非仅为降低已有四点的误差。

残差平方和小，也不能证明某个输入具有因果作用。若要研究“调大入口会使水位怎样变化”，需要控制或记录流量变化、截面积等条件；仅观察两个量同时上升，可能只是共享时间趋势。模型的用途决定需要哪类证据。

从这个例子形成一次完整建模过程

水箱例子的步骤可以整理为一个可重复的循环：先规定预测目标与时间范围，再列变量和单位；用体积守恒提出直线假设；用训练点求参数；核对计算并用后续点检验预测；出现系统偏差时，回到机制或观测设计修改模型。

不同问题会采用不同数学结构。水位随时间的动态变化可用微分方程，测量误差可用概率，多个水箱之间的连接可用图论，在容量与成本限制下分配流量可用优化。这些结构都围绕所要回答的问题选择，不是每个模型都需要全部使用。

一个可复算的模型记录应保留数据来源、变量单位、假设、训练与验证划分、计算程序和适用范围。最小二乘计算不需要先假定正态噪声，但置信区间等统计推断需要说明相应条件。量纲检查也很有用：守恒式两边都应是体积每时间，若某项单位不一致，可在求解前发现问题。

下载与复现

下载：水位线性拟合教学包（CSV、Python、预期结果与说明）

教学包保留本例合成数据、仅依赖 Python 标准库的脚本与预期结果。解压后运行 python3 fit.py，可以复算参数 $a=b=0.9$、训练平方和 $0.7$ 与留出平方和 $0.17$。修改三分钟读数后，也可检查上一节的扰动结果。

方法背景

天文测量、力学与人口研究都推动了数学模型的发展。这里使用的最小二乘法，在 Legendre 1805 年的发表及 Gauss 后来的工作中形成了重要发展，具体文献见最小二乘法。它将“怎样选一条最合适的曲线”变成可计算的目标。

Boyd 与 Vandenberghe 的应用线性代数教材从数据与应用问题展开拟合；Lebl 的微分方程教材从动态过程建立方程。水箱例子同时使用了这两种思路：守恒解释结构，数据估计参数，后续观测检验用途。

按问题选择模型

水位拟合的统计解释见线性模型：它沿用本例数据，区分真实平均响应、拟合线和下一次随机读数，并计算两种不同的区间。若问题改成“每月先流失一定比例，再补入固定水量”，差分方程模型从状态更新式推导平衡水量与收敛速度。若两个状态互相影响，捕食者-猎物模型展示如何从相遇假设建立耦合方程，再用零增长线、相图和守恒量研究变化。

这三类问题分别关心输入与平均响应的关系、离散时刻的状态更新，以及连续时间内两个种群的相互作用。选择模型时，先写清记录了什么、时间怎样计量、哪些机制被保留，再决定使用哪组方程。

参考来源与延伸阅读

• Boyd 与 Vandenberghe：Introduction to Applied Linear Algebra，模型拟合、最小二乘与应用。
• 最小二乘法 · 量纲分析 · 统计推断 · 洛吉斯蒂模型。
• Boyd、Vandenberghe，《Convex Optimization》：最小二乘与优化建模。
• Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》：从应用问题建立微分方程模型。
• 线性代数 · 优化 · 微分方程 · 贝叶斯定理