几何平均数与调和平均数

算术平均数平均的是可相加的量；几何平均数平均的是连乘因子；调和平均数常用于“分子固定、分母随情形变化”的比率。对正数 $x_1,\dots ,x_n$，三者分别为 $$M_A=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i,M_G={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n},M_H=\frac{n}{\sum _{i=1}^{n}1/x_i}.$$ 这些公式不是三种可随意互换的“打分方法”；先写清每个数据代表的总量怎样合并，再选择平均方式。

两期收益的连乘因子

一个量第一期增长 20%，第二期下降 20%，对应增长因子 $1.2$ 和 $0.8$。从 100 出发，先到 120，再到 96：两期合起来减少 4%。若用同一个等效增长因子 $f$ 连续作用两期，就须满足 $$100f^2=96,f=\sqrt{1.2\times 0.8}=\sqrt{0.96}\approx \mathrm{0.979796.}$$ 故等效每期增长率约为 $-2.0204\mathrm{\%}$。增长率的算术均值 $(20\mathrm{\%}-20\mathrm{\%})/2=0$，错在它把以不同期初量计算的百分比当成可直接相加的金额。复利与贴现也从同一乘积关系导出跨期余额。

若各期因子均为正，$n$ 期的等效因子为 $(\prod _{i=1}^n{f}_i{)}^{1/n}$，等效增长率再减 1。若某期因子为零，终值归零，几何平均因子为零；若因子为负，它已不再是普通正余额的逐期增长模型，不能照用这个解释。

相同的百分之二十对应不同的期初量；等效每期率由乘积而非百分点的算术均值决定。

等距离往返的平均速度

骑行者去程走 60 千米，速度 60 千米／小时；返程走 60 千米，速度 30 千米／小时。去程用 1 小时，返程用 2 小时，总距离 120 千米、总时间 3 小时，所以全程平均速度为 40 千米／小时。

若两段距离相等，令其各为 $d$，两速度为正数 $v_1,v_2$，则 $$\overline{v}=\frac{2d}{d/v_1+d/v_2}=\frac{2}{1/v_1+1/v_2}=M_H(v_1,v_2).$$ 这里调和平均数不是记忆口诀，而是总距离除以总时间的结果。若改为两段时间相等，总距离是 $t{v}_1+t{v}_2$、总时间是 $2t$，平均速度改为算术平均 $(v_1+v_2)/2=45$ 千米／小时。条件改变了，平均数也改变了。

距离相同不等于用时相同；图上的两段长度一样，时间跨度不同。

三种平均数的次序

对两个正数 $a,b$，由 $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$ 得 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$，即 $M_A\ge M_G$。再对正数 $1/a,1/b$ 应用同一个结论：$(1/a+1/b)/2\ge 1/\sqrt{ab}$；两边取倒数（均为正）得到 $M_H\le M_G$。因此 $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b},$$ 等号恰在 $a=b$ 时成立。这里的证明只针对两个正数；一般 $n$ 项也满足算术 ≥ 几何 ≥ 调和，但需要相应的多项不等式证明。对于 60 与 30，三者依次为 45、约 42.43、40；大小关系能检查计算，却不能代替判断该用哪一种平均数。

参考与延伸

• 美国国家标准与技术研究院，Geometric Mean；Harmonic Mean。
• 复利与贴现；加权平均数与综合评价；柯西不等式。