复利与贴现

复利（compound interest）把已经产生的利息计入下一期的计算基数；贴现（discounting）则把未来的一笔金额换算到较早的时点。二者使用同一套时间关系：向后推算时乘增长因子，向前换算时除以增长因子。

设一个教学账户在今天存入 8,000 元，此后没有存取，每年年末按账户余额的 5% 计息。这里的利率是为演算设定的固定参数，不代表某种真实产品。第一年利息是 400 元，年末有 8,400 元；第二年利息按 8,400 元计算，为 420 元，年末有 8,820 元。第二年的额外 20 元，就是第一年利息继续产生的利息。

先固定一期，再写递推

用 $P$ 表示初始金额， $i$ 表示每期有效利率， $A_{k}$ 表示第 $k$ 期末金额。百分数须换成小数，例如 $5 % = 0.05$ 。一次计息把原余额与其利息相加：

$A_{k + 1} = A_{k} + i A_{k} = (1 + i) A_{k}, A_{0} = P .$

从第零期依次代入，得到 $A_{1} = P (1 + i)$ 、 $A_{2} = P (1 + i)^{2}$ 。每经过一期再乘一次 $1 + i$ ，因此对于非负整数 $n$ ，

$A_{n} = P (1 + i)^{n} .$

在本篇的金额模型中取 $P \geq 0$ 、 $i > - 1$ ，使每期增长因子为正。通常讨论的正利率满足 $i > 0$ ；若 $- 1 < i < 0$ ，同一递推给出逐期减少的余额。期间发生存取时，必须在递推中另加现金流，见年金。

初始八千元以每年百分之五计息，六年间复利余额逐渐高于按初始本金计算的单利余额，图上标出第三年九千二百六十一元 — 点表示年末实际计息时点。连接线帮助追踪数值；本例的合同模型按年计息，没有另行规定年内余额。

单利每期只按初始本金计息，故 $A_{n}^{s i m p l e} = P (1 + n i)$ 。第三年，单利给出 9,200 元，复利则给出

$8000 (1.05)^{3} = 9261 元 .$

差额 61 元可以逐项追溯到此前利息的再计息。两种曲线在第一期重合，以后逐渐分开；图形中的弯曲来自“按当前量的一定比例增加”，与指数增长与衰减有相同的数学结构。

贴现：把同一过程倒着算

现在反过来问：在同样的每年 5% 规则下，今天多少元会在三年后变成 9,261 元？令今天的金额为 $V_{0}$ ，则 $V_{0} (1.05)^{3} = 9261$ ，所以

$V_{0} = \frac{9261}{(1.05)^{3}} = 8000 元 .$

一般地，若第 $n$ 期的一笔金额为 $F$ ，它在第零期的现值为

$V_{0} = F (1 + i)^{- n} .$

$v = (1 + i)^{- 1}$ 称为每期贴现因子。未来金额的现值为 $F v^{n}$ 。贴现不是把百分之五的金额减去三次；除以 $1.05$ 才能准确抵消乘以 $1.05$ 的过程。

时间轴从第零年八千元经过第一年八千四百、第二年八千八百二十到第三年九千二百六十一，向右乘一点零五，向左除一点零五 — 每个数属于一个确定时点。比较跨期金额时，先沿同一规则移动到共同的计价时点。

若有多笔未来净流入 $C_{1}, \dots, C_{n}$ ，每笔分别贴现再相加： $V_{0} = \sum_{k = 1}^{n} C_{k} (1 + i)^{- k}$ 。现金流的正负以同一个观察者为准。例如从账户持有人的角度，付款为负、收款为正。现值首先是给定贴现规则下的等值换算；选择哪个贴现率以及未来款项能否实现，是模型输入问题，不能由这个公式自行决定。

“年利率”还需要哪条说明

一期可以是一年、一季或一月。公式中利率与期数必须对应。若写的是名义年利率 $j$ ，并约定每年等分为 $m$ 个计息期、每期利率为 $j / m$ ，经过 $t$ 年且 $m t$ 为整数时，

$A = P {(1 + \frac{j}{m})}^{m t} .$

一年内真正的增长比例是有效年利率

$i_{a n n u a l} = {(1 + \frac{j}{m})}^{m} - 1.$

假设名义年利率是 12%，按月计息，则月利率为 1%，有效年利率是 $(1.01)^{12} - 1 \approx 12.682503 %$ 。如果给定的 12% 本来就是有效年利率，要找等值的月利率，应解 $(1 + i_{m o n t h})^{12} = 1.12$ ，得到

$i_{m o n t h} = 1.1 2^{1 / 12} - 1 \approx 0.948879 % .$

这两个“12%”给出的月利率不同，是因为它们定义不同。不能把任何带有“年”字的利率都直接除以十二。OpenStax：复利、现值与有效年利率

固定名义年利率百分之十二时，一年计息一次、两次、十二次的有效增长分别为百分之十二、十二点三六和十二点六八三，连续计息极限约百分之十二点七五 — 比较时固定的是名义年利率。若固定有效年利率，计息频率改变后，每期利率也要随之调整。

连续复利从哪里来

固定数值 $r$ ，把一年拆成越来越多期。利用 $lim_{u \to 0} \ln (1 + u) / u = 1$ ，可得

$lim_{m \to \infty} m \ln (1 + \frac{r}{m}) = r, lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{r}{m})}^{m} = e^{r} .$

因此连续计息模型写为 $A (t) = P e^{r t}$ 。此时 $r$ 是连续增长率，量纲是时间的倒数， $r t$ 无量纲。它也是方程 $A^{'} (t) = r A (t)$ 的解，称为利息力时强调其瞬时相对增长率含义。连续率 $r = 0.12 年^{- 1}$ 对应的有效年利率为 $e^{0.12} - 1 \approx 12.749685 %$ ，并非 12%。

连续计息只规定金额如何增长，未规定现金流也连续发生。每月付款仍是一笔笔离散现金流；只有把流入写成“元/年”的流率时，才进入连续现金流的积分模型。

利率变化时，为什么不能随便取平均

若各期利率为 $i_{1}, \dots, i_{n} > - 1$ ，逐期应用递推就有

$A_{n} = P \prod_{k = 1}^{n} (1 + i_{k}) .$

设第一期增加 20%，第二期减少 20%，两期总因子为 $1.2 \times 0.8 = 0.96$ ，最终反而减少 4%。算术平均利率为零，却不能描述这段复合变化。等效的每期利率应满足 $(1 + \bar{i})^{2} = 0.96$ ，故 $\bar{i} = \sqrt{0.96} - 1 \approx - 2.0204 %$ 。

计算时还要分清“期末展示到分”与“每期真的按分入账”两种规则。前者可保留内部精度到最后统一舍入；后者需要每期按照约定舍入并更新余额。贷款摊还给出逐期核对的方法。

参考资料

OpenStax：Contemporary Mathematics，Compound Interest。
OpenStax：Principles of Finance，Time Value of Money Basics。
Ronald J. Harshbarger、James J. Reynolds，Mathematical Applications for the Management, Life, and Social Sciences，第 10 版，第 6 章，供系统学习相关知识。