微积分：修订间差异

2026年9月20日 (日) 02:23的版本

微积分（calculus）是研究局部变化与整体累积的数学分支，主要包括微分学与积分学。导数刻画函数的局部变化率，积分把局部贡献汇总为整体量，极限为这两种操作提供精确表述。微积分基本定理说明，在适当条件下，这两种看似不同的过程互相联系。微积分既包含计算方法，也包含保证计算成立的条件、证明和误差控制。

一段运动中的三种信息

以教学位置函数 $s (t) = t^{2} + 5$ 为例，位置单位为米，时间单位为秒。位置函数回答物体“在哪里”，速度函数 $v (t) = 2 t$ 回答“此刻以多快的速率改变位置”，而时间区间上的速度积分回答“这一段总共改变了多少位置”。从 1 秒到 3 秒，位置变化为 $s (3) - s (1) = 14 - 6 = 8$ 米，也等于 $\int_{1}^{3} 2 t d t$ 。

左图速度2t的曲线下面积，右图相应的累计函数t平方 — 左图通过面积累计位移，右图通过切线斜率读出速度。更换初始位置只会使右图竖直平移，不改变速度。

若只知道速度 $2 t$ ，位置仍可为 $t^{2} + C$ ，其中常数由初始位置确定。求导会抹掉加法常数；积分不能凭空恢复丢失的初始信息。因此“积分是求导的逆运算”必须带上常数和区间条件，不能理解为每个符号都能机械地相互抵消。

这个例子也说明变量和单位不是附加装饰。位置、速度与加速度的量纲依次是长度、长度除以时间、长度除以时间平方。将速度曲线的高度误读成已走过的路程，相当于把局部速率和累计结果混成同一对象。

两条构造路线：差商与求和

微分从有限变化开始。取输入增量 $h$ ，先形成平均变化率 $[f (x + h) - f (x)] / h$ ，然后研究 $h \to 0$ 时是否存在有限极限。若存在，便得到导数。这个极限不要求增量真的等于零；在每次相除时，增量都仍然非零。

积分从有限分割开始。把 $[a, b]$ 分成短区间，用“代表高度乘区间长度”估计每一段贡献，再相加。当最大段长趋于零，如果所有足够细的划分和取点都趋于同一结果，就得到黎曼积分。差商着重一个点附近，求和着重整个区间；基本定理之前，它们有独立的定义。

并非所有函数都符合这些构造。绝对值函数在原点连续但不可导；有理点取 1、无理点取 0 的函数有界却不黎曼可积。清楚地指出这些对象在哪一步失败，是理解定义的一部分，而不是仅在异常例子出现时才补充的技术说明。

基本定理第一部分：累积的变化率

设 $f$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 连续，定义 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$ 这里 $t$ 是被积分的哑变量， $x$ 是决定累计范围的上限。基本定理断言，对区间内部的每个 $x$ ，有 $A^{'} (x) = f (x)$ 。

证明。 根据积分的区间可加性，增量 $A (x + h) - A (x)$ 等于新加入的小区间上的积分。因此 $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .$ 给定任意 $ε > 0$ ，连续性保证存在一个邻域，其中 $| f (t) - f (x) | < ε$ 。当非零 $h$ 足够小时，整个小区间都位于这个邻域内，无论 $h$ 为正还是负，上式绝对值都不超过 $ε | h | / | h | = ε$ 。故差商趋于 $f (x)$ ，证毕。

这个证明说明，关键不是“面积看起来很薄”，而是小区间内函数值可以被同一个误差统一控制。若在某点不连续，该点的结论需要另行检查，不能照搬。连续性是这里采用的清楚而方便的充分条件，并不宣称它是所有基本定理版本中最弱的条件。标准陈述见 OpenStax §5.3。

基本定理第二部分：端点之差为何等于总积累

仍设 $f$ 连续，并设 $F$ 在闭区间连续，在开区间内满足 $F^{'} = f$ 。上一节构造的 $A$ 满足相同导数，所以 $(F - A)^{'} = 0$ 。由中值定理，导数为零的函数在区间上为常数；于是 $F (b) - A (b) = F (a) - A (a) .$ 又因为 $A (a) = 0$ ，所以 $\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .$ 这就是计算定积分常用的牛顿—莱布尼茨公式。它把整体累积转化为原函数的边界变化，但这种便捷依赖于之前已经建立的积分与导数理论。

不定积分写成 $F (x) + C$ 是因为所有原函数相差一个常数；定积分中的常数在端点相减时消掉。若被积函数在区间内部存在奇点，不能直接用横跨奇点的端点差代替反常积分检查；相关反例见积分。

算例一：无法初等表达的累计函数仍可求导

令 $G (x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ 。被积函数连续，虽然它的原函数不能用通常有限个初等函数表达，累计函数仍然有意义。先设 $H (u) = \int_{0}^{u} e^{- t^{2}} d t$ ，由基本定理 $H^{'} (u) = e^{- u^{2}}$ ，再对 $G (x) = H (x^{2})$ 使用链式法则，得到 $G^{'} (x) = 2 x e^{- x^{4}} .$ 这项计算没有先找到闭式原函数。它说明“无法写出初等公式”与“无法研究函数”是不同判断。上限变化越快，累计范围变化也越快，链式法则中的 $2 x$ 正记录这一点。

算例二：流量决定总量与达到阈值的时间

设一个理想水箱的净流入速率为 $q (t) = 6 - 2 t$ 升每分钟，在 $0 \leq t \leq 3$ 分钟内有效，初始存水为 4 升。由累计关系， $V (t) = 4 + \int_{0}^{t} (6 - 2 u) d u = 4 + 6 t - t^{2} .$ 在模型时间范围内，流量非负，所以体积一直增加。求首次达到 12 升的时刻，解 $4 + 6 t - t^{2} = 12$ ，得到 $t = 2$ 或 $t = 4$ ；后者超出指定区间，应剔除。2 分钟时流量仍为每分钟 2 升，累计进入了 8 升。

这个例子同时用到了积分、初值、方程求解和定义域。若把流量公式擅自外推到 3 分钟以后，它会变成净流出；是否真的如此，需要新的物理假设，不能由代数式自动保证。

局部近似与最优化：计算之后仍要分类

可导函数在一点附近满足 $f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + o (h)$ 。若还有更多连续导数，泰勒展开能继续保留二次、三次等项，并给出余项估计。一次近似把函数局部替换成直线；二次项则描述弯曲方向，并帮助分析驻点。

例如在固定周长为 20 的矩形中，边长为 $x$ 与 $10 - x$ ，面积为 $A (x) = x (10 - x)$ ，定义域 $0 \leq x \leq 10$ 。导数 $A^{'} (x) = 10 - 2 x$ 在 5 为零，之前为正、之后为负，且端点面积为零，因此最大面积为 25，在正方形时取得。这是完整的最值判断，而不只是找到一个导数为零的点。

相比之下， $x^{3}$ 在原点导数为零却没有局部极值。受约束问题还可能在边界取得最优值，多元问题也可能出现鞍点。微分提供候选位置与变化方向，优化进一步组织可行域、存在性及最优性条件。

解析公式之外的数值与误差

数值积分用有限次函数取值逼近累积量。对 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = 1 / 3$ ，复合梯形法取 $n$ 个等长区间，可算得 $T_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6 n^{2}} .$ 因此一步为 $1 / 2$ ，两步为 $3 / 8$ ，四步为 $11 / 32$ ；它们都高估，步数加倍使误差缩小到四分之一。这里不仅有“越来越接近”的观察，还有本例的精确误差公式。

数值微分的处境不同。前向差分在光滑函数上有随步长减小的截断误差，但数据噪声在相除时可能被放大。若两个函数值各含不超过 $η$ 的误差，差商中仅这部分误差就可能达到 $2 η / | h |$ 。因此不断减小 $h$ 并不保证结果越来越准；选择步长需要兼顾误差来源。

数值积分、牛顿法和微分方程数值解都属于把连续理论转为有限计算的路线。计算机给出的有限数字需要与误差、稳定性和输入假设一起阅读，不能只凭输出小数位数判断可信度。

多元与微分方程：从计算规则到结构

当函数依赖多个变量，方向不同，局部变化可能不同。梯度把标量函数的一阶变化组织成一个向量，雅可比矩阵组织向量值函数的局部线性映射；二重、三重积分累积平面或空间区域内的量。曲线和曲面积分又把方向、几何与边界联系起来。它们需要线性代数和几何背景，不能只把一元公式中的字母变粗。

微分方程则从变化关系反求未知函数。已知 $y^{'} = k y$ 与初值，可得指数增长或衰减；加入有限资源假设，得到洛吉斯蒂模型。这与普通求导的方向相反：未知量是整条函数曲线，必须讨论解是否存在、是否唯一，以及它在何种时间区间有效。

微积分提供把局部与整体相连的语言，而数学建模决定哪些量、关系与参数足以表达具体对象。一个微分方程能被准确求解，并不证明它准确描述现实；数学推导、数值计算和经验验证是相互连接但应分别检查的环节。

两端都在变化的积分

基本定理不只处理固定下限。若 $f$ 连续，而上下限 $a (x), b (x)$ 都可导，取一个固定参考点 $c$ ，将积分改写为 $\int_{c}^{b (x)} f - \int_{c}^{a (x)} f$ ，分别使用基本定理和链式法则，便得到 $\frac{d}{d x} \int_{a (x)}^{b (x)} f (t) d t = f (b (x)) b^{'} (x) - f (a (x)) a^{'} (x) .$ 右侧第一项记录上端移动加入的量，第二项记录下端移动移走的量。比如 $H (x) = \int_{x}^{2 x} t^{2} d t$ ，求导为 $(2 x)^{2} \cdot 2 - x^{2} = 7 x^{2}$ ；直接先积分得到 $H (x) = 7 x^{3} / 3$ ，求导结果相同。两种计算相互核验，也说明不能只代入上限而漏掉其移动速度与下限贡献。

若被积函数本身还依赖参数，求导时又会多一项来自被积函数的变化。交换积分与求导需要对应的连续性或控制条件，不能把它当作所有参数积分自动具备的形式规则。多个极限过程之间的交换，是从基础微积分走向分析时需要继续学习的问题。

一条学习路线为何要包含反例

学习极限时，可去间断点区分邻近行为和单点取值；学习导数时，绝对值函数区分连续和可导；学习积分时，处处剧烈振荡的有界函数区分有界和可积。三类反例分别阻止一种不合法的条件省略。它们并不是偏离主线的特殊收藏，而是帮助确认主线中每一步究竟增加了什么要求。

例如“既然位置连续，速度就应该存在”忽略了连续与可导之间的差距；“既然速度可积，位置每一点都能求出这个速度”忽略了基本定理在不连续点的限制；“既然找到原函数，跨过奇点相减就能得积分”忽略了积分是否存在。把这些句子逐项还原为精确命题，是概念训练的一部分。

一本教材可以先采用足够简单的连续可导函数建立直观，再逐步放宽条件；百科条目则应让查询某个结论的人立刻看到当前版本的假设。本文采用的常用充分条件便于理解和核验，并不宣称涵盖现代分析中所有更弱条件下的推广。

在应用中，微积分还经常把守恒关系写成两种等价的尺度。瞬时形式说“储量变化率等于净输入速率”，积分形式说“一段时间的储量变化等于这段时间的净输入累计”。二者在相应的连续性条件下由基本定理连接。写出积分形式有时更适合与离散观测比较，因为仪器测量的是一段时间内的总量；写出微分形式则更便于分析局部反馈。

这不是说所有实验数据都应该先求导。含噪声的离散记录若直接差分，误差可能扩大；利用积分约束估计模型参数有时更稳定。选择哪种表达，取决于数据测量方式、模型结构与误差来源，而不是由微分符号看起来更精细来决定。

历史：多条问题线索汇成一门学科

微积分形成于切线、极值、求积和运动等问题的长期积累。牛顿在十七世纪六十年代发展流数方法，莱布尼茨在十七世纪七十年代形成自己的微分与积分方法及符号，随后发表相关成果；巴罗、费马等人的工作构成重要前史。不能把两位主要人物之间的优先权争论，等同于整门学科只有一个起点。相关年代与贡献见 MacTutor：The rise of calculus。

十八世纪的分析扩大了这些工具的适用范围，十九世纪的柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人则从极限、积分与函数性质等方向推进基础与理论。这里的“现代严格化”不是单一事件，历史上也存在不同的定义与证明传统。原著中的流数、微分与今天教科书中的极限定义，虽有联系，却不应被当成完全相同的表述。

English overview

Calculus studies local change and accumulated quantities. Differentiation begins with difference quotients, whereas integration begins with sums over small pieces. These constructions are independent until the fundamental theorem connects them under suitable assumptions. For a continuous integrand, the derivative of its accumulation function recovers the integrand. Conversely, a definite integral can be evaluated by subtracting endpoint values of an antiderivative.

The connection includes information that symbols alone can hide. Initial values determine constants, signs distinguish displacement from distance, and domains determine whether a candidate solution is meaningful. A function may have a well-defined integral without an elementary antiderivative, so differentiation of accumulation functions and numerical approximation remain possible beyond familiar formulas.

Local linearization supports approximation and optimization, but stationary points require classification and boundary checks. Numerical implementations bring truncation, measurement, and rounding errors that are absent from exact symbolic identities. In several variables, derivatives become linear maps and integrals accumulate over higher-dimensional regions. Differential equations reverse the usual direction by asking for an unknown function from a relation involving its derivatives. Throughout these extensions, the assumptions connecting a model, a theorem, and a computation are part of the mathematical content.

编者评注（AI 辅助）

本站认为，一篇微积分总览应帮助建立工具之间的关系，而不是把求导表和积分表堆在一起。这是本文的编辑取向。运动、水箱与矩形三个例子分别承担单位解释、初值累积和最值分类，基本定理的证明则说明它们为何能互相连接。后续学习可以沿问题深入到对应词条；遇到复杂公式时，先判断所求是瞬时率、净累积还是未知演化规律，往往比先挑一条计算口诀更可靠。

来源与继续阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3：基本定理。
同书 §4.2：局部线性近似。
OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.6：数值积分。
MacTutor：The rise of calculus：历史来源。
基础路线：极限 → 导数与积分 → 微分方程；计算路线：数值积分、牛顿法。

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-微积分是研究连续变化与累积的数学分支，主要由微分学和积分学组成。微分学从函数研究局部变化率，积分学把局部量累积为整体量；极限为这两种过程提供严格的定义。
+'''微积分'''（calculus）是研究局部变化与整体累积的数学分支，主要包括微分学与积分学。[[导数]]刻画函数的局部变化率，[[积分]]把局部贡献汇总为整体量，[[极限]]为这两种操作提供精确表述。微积分基本定理说明，在适当条件下，这两种看似不同的过程互相联系。微积分既包含计算方法，也包含保证计算成立的条件、证明和误差控制。
-== 三个概念怎样联系 ==
+== 一段运动中的三种信息 ==
-[[极限]]回答“不断逼近时会发生什么”；[[导数]]通过差商的极限刻画瞬时变化；[[积分]]通过分割求和的极限刻画总量。这不是三个孤立的计算规则，而是一套互相联系的描述方式。
+以教学位置函数 <math>s(t)=t^2+5</math> 为例，位置单位为米，时间单位为秒。位置函数回答物体“在哪里”，速度函数 <math>v(t)=2t</math> 回答“此刻以多快的速率改变位置”，而时间区间上的速度积分回答“这一段总共改变了多少位置”。从 1 秒到 3 秒，位置变化为 <math>s(3)-s(1)=14-6=8</math> 米，也等于 <math>\int_1^3 2t\,dt</math>。
-[[File:Gezhi-calculus-accumulation.svg|frame|center|alt=左图速度函数2t在零到一时间段的面积为一，右图对应累计位移函数t平方|速度曲线下的面积给出位置变化；位置曲线的切线斜率又给出速度。]]
+[[File:Gezhi-calculus-accumulation.svg|frame|center|alt=左图速度2t的曲线下面积，右图相应的累计函数t平方|左图通过面积累计位移，右图通过切线斜率读出速度。更换初始位置只会使右图竖直平移，不改变速度。]]
-例如物体位置为 <math>s(t)=t^2</math> 米（<math>t</math> 以秒计）时，速度为 <math>v(t)=2t</math> 米每秒。从 <math>t=1</math> 到 <math>t=3</math>，位移是 <math>9-1=8</math> 米，也可以由 <math>\int_1^3 2t\,dt=8</math> 求得。速度的数值不是位移，连接两者的是时间积分。
-== 微积分基本定理 ==
+若只知道速度 <math>2t</math>，位置仍可为 <math>t^2+C</math>，其中常数由初始位置确定。求导会抹掉加法常数；积分不能凭空恢复丢失的初始信息。因此“积分是求导的逆运算”必须带上常数和区间条件，不能理解为每个符号都能机械地相互抵消。
-设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续，定义累计函数
+这个例子也说明变量和单位不是附加装饰。位置、速度与加速度的量纲依次是长度、长度除以时间、长度除以时间平方。将速度曲线的高度误读成已走过的路程，相当于把局部速率和累计结果混成同一对象。
+== 两条构造路线：差商与求和 ==
+微分从有限变化开始。取输入增量 <math>h</math>，先形成平均变化率 <math>[f(x+h)-f(x)]/h</math>，然后研究 <math>h\to0</math> 时是否存在有限极限。若存在，便得到导数。这个极限不要求增量真的等于零；在每次相除时，增量都仍然非零。
+积分从有限分割开始。把 <math>[a,b]</math> 分成短区间，用“代表高度乘区间长度”估计每一段贡献，再相加。当最大段长趋于零，如果所有足够细的划分和取点都趋于同一结果，就得到黎曼积分。差商着重一个点附近，求和着重整个区间；基本定理之前，它们有独立的定义。
+并非所有函数都符合这些构造。绝对值函数在原点连续但不可导；有理点取 1、无理点取 0 的函数有界却不黎曼可积。清楚地指出这些对象在哪一步失败，是理解定义的一部分，而不是仅在异常例子出现时才补充的技术说明。
+== 基本定理第一部分：累积的变化率 ==
+设 <math>f</math> 在有限闭区间 <math>[a,b]</math> 连续，定义
 <math display="block">A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.</math>
-基本定理的一部分说明，在区间内部有 <math>A'(x)=f(x)</math>。其原因可由增量理解：
+这里 <math>t</math> 是被积分的哑变量，<math>x</math> 是决定累计范围的上限。基本定理断言，对区间内部的每个 <math>x</math>，有 <math>A'(x)=f(x)</math>。
-<math display="block">\frac{A(x+h)-A(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.</math>
-右边是小区间上的平均值；连续性保证区间缩小时它趋于 <math>f(x)</math>。
+'''证明。''' 根据积分的区间可加性，增量 <math>A(x+h)-A(x)</math> 等于新加入的小区间上的积分。因此
+<math display="block">\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt.</math>
+给定任意 <math>\varepsilon>0</math>，连续性保证存在一个邻域，其中 <math>|f(t)-f(x)|<\varepsilon</math>。当非零 <math>h</math> 足够小时，整个小区间都位于这个邻域内，无论 <math>h</math> 为正还是负，上式绝对值都不超过 <math>\varepsilon|h|/|h|=\varepsilon</math>。故差商趋于 <math>f(x)</math>，证毕。
+这个证明说明，关键不是“面积看起来很薄”，而是小区间内函数值可以被同一个误差统一控制。若在某点不连续，该点的结论需要另行检查，不能照搬。连续性是这里采用的清楚而方便的充分条件，并不宣称它是所有基本定理版本中最弱的条件。标准陈述见 [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax §5.3]。
+== 基本定理第二部分：端点之差为何等于总积累 ==
+仍设 <math>f</math> 连续，并设 <math>F</math> 在闭区间连续，在开区间内满足 <math>F'=f</math>。上一节构造的 <math>A</math> 满足相同导数，所以 <math>(F-A)'=0</math>。由中值定理，导数为零的函数在区间上为常数；于是
+<math display="block">F(b)-A(b)=F(a)-A(a).</math>
+又因为 <math>A(a)=0</math>，所以
+<math display="block">\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).</math>
+这就是计算定积分常用的牛顿—莱布尼茨公式。它把整体累积转化为原函数的边界变化，但这种便捷依赖于之前已经建立的积分与导数理论。
+不定积分写成 <math>F(x)+C</math> 是因为所有原函数相差一个常数；定积分中的常数在端点相减时消掉。若被积函数在区间内部存在奇点，不能直接用横跨奇点的端点差代替反常积分检查；相关反例见[[积分]]。
+=== 算例一：无法初等表达的累计函数仍可求导 ===
+令 <math>G(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,dt</math>。被积函数连续，虽然它的原函数不能用通常有限个初等函数表达，累计函数仍然有意义。先设 <math>H(u)=\int_0^u e^{-t^2}\,dt</math>，由基本定理 <math>H'(u)=e^{-u^2}</math>，再对 <math>G(x)=H(x^2)</math> 使用链式法则，得到
+<math display="block">G'(x)=2x e^{-x^4}.</math>
+这项计算没有先找到闭式原函数。它说明“无法写出初等公式”与“无法研究函数”是不同判断。上限变化越快，累计范围变化也越快，链式法则中的 <math>2x</math> 正记录这一点。
+=== 算例二：流量决定总量与达到阈值的时间 ===
+设一个理想水箱的净流入速率为 <math>q(t)=6-2t</math> 升每分钟，在 <math>0\le t\le3</math> 分钟内有效，初始存水为 4 升。由累计关系，
+<math display="block">V(t)=4+\int_0^t(6-2u)\,du=4+6t-t^2.</math>
+在模型时间范围内，流量非负，所以体积一直增加。求首次达到 12 升的时刻，解 <math>4+6t-t^2=12</math>，得到 <math>t=2</math> 或 <math>t=4</math>；后者超出指定区间，应剔除。2 分钟时流量仍为每分钟 2 升，累计进入了 8 升。
+这个例子同时用到了积分、初值、方程求解和定义域。若把流量公式擅自外推到 3 分钟以后，它会变成净流出；是否真的如此，需要新的物理假设，不能由代数式自动保证。
+== 局部近似与最优化：计算之后仍要分类 ==
+可导函数在一点附近满足 <math>f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)</math>。若还有更多连续导数，泰勒展开能继续保留二次、三次等项，并给出余项估计。一次近似把函数局部替换成直线；二次项则描述弯曲方向，并帮助分析驻点。
+例如在固定周长为 20 的矩形中，边长为 <math>x</math> 与 <math>10-x</math>，面积为 <math>A(x)=x(10-x)</math>，定义域 <math>0\le x\le10</math>。导数 <math>A'(x)=10-2x</math> 在 5 为零，之前为正、之后为负，且端点面积为零，因此最大面积为 25，在正方形时取得。这是完整的最值判断，而不只是找到一个导数为零的点。
+相比之下，<math>x^3</math> 在原点导数为零却没有局部极值。受约束问题还可能在边界取得最优值，多元问题也可能出现鞍点。微分提供候选位置与变化方向，[[优化]]进一步组织可行域、存在性及最优性条件。
+== 解析公式之外的数值与误差 ==
+数值积分用有限次函数取值逼近累积量。对 <math>\int_0^1x^2\,dx=1/3</math>，复合梯形法取 <math>n</math> 个等长区间，可算得
+<math display="block">T_n=\frac13+\frac1{6n^2}.</math>
+因此一步为 <math>1/2</math>，两步为 <math>3/8</math>，四步为 <math>11/32</math>；它们都高估，步数加倍使误差缩小到四分之一。这里不仅有“越来越接近”的观察，还有本例的精确误差公式。
+数值微分的处境不同。前向差分在光滑函数上有随步长减小的截断误差，但数据噪声在相除时可能被放大。若两个函数值各含不超过 <math>\eta</math> 的误差，差商中仅这部分误差就可能达到 <math>2\eta/|h|</math>。因此不断减小 <math>h</math> 并不保证结果越来越准；选择步长需要兼顾误差来源。
+[[数值积分]]、[[牛顿法]]和微分方程数值解都属于把连续理论转为有限计算的路线。计算机给出的有限数字需要与误差、稳定性和输入假设一起阅读，不能只凭输出小数位数判断可信度。
+== 多元与微分方程：从计算规则到结构 ==
+当函数依赖多个变量，方向不同，局部变化可能不同。梯度把标量函数的一阶变化组织成一个向量，雅可比矩阵组织向量值函数的局部线性映射；二重、三重积分累积平面或空间区域内的量。曲线和曲面积分又把方向、几何与边界联系起来。它们需要[[线性代数]]和几何背景，不能只把一元公式中的字母变粗。
+[[微分方程]]则从变化关系反求未知函数。已知 <math>y'=ky</math> 与初值，可得指数增长或衰减；加入有限资源假设，得到[[洛吉斯蒂模型]]。这与普通求导的方向相反：未知量是整条函数曲线，必须讨论解是否存在、是否唯一，以及它在何种时间区间有效。
+微积分提供把局部与整体相连的语言，而[[数学建模]]决定哪些量、关系与参数足以表达具体对象。一个微分方程能被准确求解，并不证明它准确描述现实；数学推导、数值计算和经验验证是相互连接但应分别检查的环节。
+== 两端都在变化的积分 ==
+基本定理不只处理固定下限。若 <math>f</math> 连续，而上下限 <math>a(x),b(x)</math> 都可导，取一个固定参考点 <math>c</math>，将积分改写为 <math>\int_c^{b(x)}f-\int_c^{a(x)}f</math>，分别使用基本定理和链式法则，便得到
+<math display="block">\frac d{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).</math>
+右侧第一项记录上端移动加入的量，第二项记录下端移动移走的量。比如 <math>H(x)=\int_x^{2x}t^2\,dt</math>，求导为 <math>(2x)^2\cdot2-x^2=7x^2</math>；直接先积分得到 <math>H(x)=7x^3/3</math>，求导结果相同。两种计算相互核验，也说明不能只代入上限而漏掉其移动速度与下限贡献。
+若被积函数本身还依赖参数，求导时又会多一项来自被积函数的变化。交换积分与求导需要对应的连续性或控制条件，不能把它当作所有参数积分自动具备的形式规则。多个极限过程之间的交换，是从基础微积分走向分析时需要继续学习的问题。
+== 一条学习路线为何要包含反例 ==
+学习极限时，可去间断点区分邻近行为和单点取值；学习导数时，绝对值函数区分连续和可导；学习积分时，处处剧烈振荡的有界函数区分有界和可积。三类反例分别阻止一种不合法的条件省略。它们并不是偏离主线的特殊收藏，而是帮助确认主线中每一步究竟增加了什么要求。
+例如“既然位置连续，速度就应该存在”忽略了连续与可导之间的差距；“既然速度可积，位置每一点都能求出这个速度”忽略了基本定理在不连续点的限制；“既然找到原函数，跨过奇点相减就能得积分”忽略了积分是否存在。把这些句子逐项还原为精确命题，是概念训练的一部分。
+一本教材可以先采用足够简单的连续可导函数建立直观，再逐步放宽条件；百科条目则应让查询某个结论的人立刻看到当前版本的假设。本文采用的常用充分条件便于理解和核验，并不宣称涵盖现代分析中所有更弱条件下的推广。
+在应用中，微积分还经常把守恒关系写成两种等价的尺度。瞬时形式说“储量变化率等于净输入速率”，积分形式说“一段时间的储量变化等于这段时间的净输入累计”。二者在相应的连续性条件下由基本定理连接。写出积分形式有时更适合与离散观测比较，因为仪器测量的是一段时间内的总量；写出微分形式则更便于分析局部反馈。
+这不是说所有实验数据都应该先求导。含噪声的离散记录若直接差分，误差可能扩大；利用积分约束估计模型参数有时更稳定。选择哪种表达，取决于数据测量方式、模型结构与误差来源，而不是由微分符号看起来更精细来决定。
+== 历史：多条问题线索汇成一门学科 ==
+微积分形成于切线、极值、求积和运动等问题的长期积累。牛顿在十七世纪六十年代发展流数方法，莱布尼茨在十七世纪七十年代形成自己的微分与积分方法及符号，随后发表相关成果；巴罗、费马等人的工作构成重要前史。不能把两位主要人物之间的优先权争论，等同于整门学科只有一个起点。相关年代与贡献见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus/ MacTutor：The rise of calculus]。
-另一方面，若 <math>F'=f</math>，那么
+十八世纪的分析扩大了这些工具的适用范围，十九世纪的柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人则从极限、积分与函数性质等方向推进基础与理论。这里的“现代严格化”不是单一事件，历史上也存在不同的定义与证明传统。原著中的流数、微分与今天教科书中的极限定义，虽有联系，却不应被当成完全相同的表述。
-<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).</math>
-因为 <math>A</math> 与 <math>F</math> 的导数相同，它们在该区间只相差一个常数。基本定理把繁琐的求和极限转化为求原函数与代入端点，但使用之前仍需检查函数及端点的条件。
-== 不同问题需要不同工具 ==
+== English overview ==
-{| class="wikitable"
+<div lang="en" class="math-english-summary">
-! 问题 !! 数学量 !! 需要保留的信息
+Calculus studies local change and accumulated quantities. Differentiation begins with difference quotients, whereas integration begins with sums over small pieces. These constructions are independent until the fundamental theorem connects them under suitable assumptions. For a continuous integrand, the derivative of its accumulation function recovers the integrand. Conversely, a definite integral can be evaluated by subtracting endpoint values of an antiderivative.
-|-
-| 某时刻变化多快 || 导数 || 自变量、单位、该点是否可导
-|-
-| 一段时间累计多少 || 定积分 || 上下限、正负方向、是否收敛
-|-
-| 变化率已知，求原量 || 原函数或微分方程 || 初始值决定积分常数
-|-
-| 寻找最大或最小值 || 导数与优化 || 驻点、不可导点及边界
-|}
-例如只知道速度为 <math>2t</math>，只能推出位置 <math>s(t)=t^2+C</math>。再知道 <math>s(0)=5</math>，才确定 <math>C=5</math>。变化率会丢失常数信息，积分无法凭空恢复初始位置。
-== 解析解之外：数值近似 ==
+The connection includes information that symbols alone can hide. Initial values determine constants, signs distinguish displacement from distance, and domains determine whether a candidate solution is meaningful. A function may have a well-defined integral without an elementary antiderivative, so differentiation of accumulation functions and numerical approximation remain possible beyond familiar formulas.
-不是每个原函数都能用有限个初等函数表示。数值积分仍可以近似定积分。例如用梯形法估计 <math>\int_0^1x^2\,dx</math>，一步得到 <math>1/2</math>，两等分得到 <math>3/8</math>，四等分得到 <math>11/32</math>，逐步接近真值 <math>1/3</math>。
-近似结果需要误差控制。数据有噪声时，差分会把误差除以很小的步长，所以“步长越小就一定越准”并不成立；数值微分需要平衡截断误差与数据、舍入误差。
+Local linearization supports approximation and optimization, but stationary points require classification and boundary checks. Numerical implementations bring truncation, measurement, and rounding errors that are absent from exact symbolic identities. In several variables, derivatives become linear maps and integrals accumulate over higher-dimensional regions. Differential equations reverse the usual direction by asking for an unknown function from a relation involving its derivatives. Throughout these extensions, the assumptions connecting a model, a theorem, and a computation are part of the mathematical content.
+</div>
-== 进一步的方向 ==
+== 编者评注（AI 辅助） ==
-多元微积分把导数推广到偏导数、梯度和线性映射，把积分推广到平面、空间及曲线曲面。[[线性代数]]描述这些局部线性结构，[[微分方程]]描述未知函数与其导数之间的关系，[[数学建模]]则把现实假设转成可计算的量。
+本站认为，一篇微积分总览应帮助建立工具之间的关系，而不是把求导表和积分表堆在一起。这是本文的编辑取向。运动、水箱与矩形三个例子分别承担单位解释、初值累积和最值分类，基本定理的证明则说明它们为何能互相连接。后续学习可以沿问题深入到对应词条；遇到复杂公式时，先判断所求是瞬时率、净累积还是未知演化规律，往往比先挑一条计算口诀更可靠。
-== 延伸阅读 ==
+== 来源与继续阅读 ==
-* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3]：微积分基本定理。
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3]：基本定理。
-* [[导数]] · [[积分]] · [[优化]] · [[微分方程]]
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-2-linear-approximations-and-differentials 同书 §4.2]：局部线性近似。
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-6-numerical-integration OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.6]：数值积分。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus/ MacTutor：The rise of calculus]：历史来源。
+* 基础路线：[[极限]] → [[导数]]与[[积分]] → [[微分方程]]；计算路线：[[数值积分]]、[[牛顿法]]。
 [[分类:分析]]