稳健平均数：修订间差异

2026年10月9日 (五) 09:15的最新版本

稳健位置统计量（robust location statistic）用于描述一组数据的典型位置，同时避免少数极端观测使结果大幅偏移。常用的中位数、截尾均值和缩尾均值，对极端值的处理各不相同；选用时应先问数据从何而来、尾部的大值是否是需要保留的信息。

极端收入对均值与中位数的影响

设五个合成的月收入观测为 3,000、3,200、3,500、3,700、90,000 元。算术均值是 $103400 / 5 = 20680$ 元，排序后的中位数是第三个数 3,500 元。若最后一人的收入改为 100,000 元，均值立即增加 2,000 元，而中位数保持 3,500 元。中位数没有说那笔高收入不存在；它回答的是五人按大小排序的中间位置。

四笔月收入落在三千至三千七百元，另有一笔九万元，中位数三千五百元而算术均值二万零六百八十元 — 极端值把均值拉离大多数观测；横轴做断轴标记，避免压缩低收入之间的差异。

截尾均值与缩尾均值的计算

按从小到大排列后，20% 截尾均值在这个五人例子里删去最小和最大各一个，保留 3,200、3,500、3,700，再求得 ${\bar{x}}_{t r i m} = \frac{3200 + 3500 + 3700}{3} = 3466. \overline{6} 元 .$ 20% 缩尾均值则不删除位置，而是把最小值 3,000 替换为保留区间左端的 3,200，把最大值 90,000 替换为右端的 3,700，再对五个数求均值： ${\bar{x}}_{w i n} = \frac{3200 + 3200 + 3500 + 3700 + 3700}{5} = 3460 元 .$ 两者在此例接近，却是不同的操作。截尾改变样本中的参与项数，缩尾保留项数但修改用于平均的边端数值。实际报告必须同时给出截尾比例和边界/舍入规则；样本很小时，“截去 10%”可能连一个观测也不对应。

中位数的优化性质

中位数为何不易被一笔极端值拖走？将奇数个数据排成 $x_{1} \leq \dots \leq x_{2 k + 1}$ 。对任意位置 $m$ ，把首尾、次首尾依次配成 $k$ 对。三角不等式逐对给出 $| x_{i} - m | + | x_{2 k + 2 - i} - m | \geq x_{2 k + 2 - i} - x_{i}, 1 \leq i \leq k .$ 所有对的右侧都不依赖 $m$ 。当 $m = x_{k + 1}$ 时， $m$ 落在每对端点之间，逐对取等号，中间那一个观测的偏差也为零。因此中位数使总绝对偏差 $\sum_{i} | x_{i} - m |$ 最小。把最右端的 90,000 换成更大的数，五个观测的中间位置仍是 3,500；算术均值则使平方偏差和最小，远端偏差因平方而有更大影响。

稳健不等于“越不看大值越好”。研究总收入、税基或风险损失时，90,000 元可能正是关键信息，应同时报告总额、分布和尾部；若它是录入错误，应核查源记录，而不是靠截尾公式默默删除。还应结合直方图或箱线图展示数据形状。

参考与延伸

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 == 中位数的优化性质 ==
-中位数为何不易被一笔极端值拖走？先看三个排好序的数 <math>a\le b\le c</math>。对任意 <math>m\in[a,c]</math>，把 <math>m</math> 从 <math>a</math> 移到 <math>b</math>，到 <math>a</math> 的距离增加 <math>b-a</math>，到 <math>b,c</math> 的距离合计至少减少同样多。因此 <math>b</math> 使绝对偏差和
+中位数为何不易被一笔极端值拖走？将奇数个数据排成 <math>x_1\le\cdots\le x_{2k+1}</math>。对任意位置 <math>m</math>，把首尾、次首尾依次配成 <math>k</math> 对。三角不等式逐对给出
-<math display="block">S(m)=|a-m|+|b-m|+|c-m|</math>
+<math display="block">|x_i-m|+|x_{2k+2-i}-m|\ge x_{2k+2-i}-x_i,\qquad 1\le i\le k.</math>
-最小。对任意奇数个有序观测同理：把位置向中间推时，左、右两侧的距离变化相互抵消，越过中位点后方向倒转。算术均值则使平方偏差和最小；平方会更重地惩罚远端偏差。这是二者受极端值影响不同的一条数学原因。
+所有对的右侧都不依赖 <math>m</math>。当 <math>m=x_{k+1}</math> 时，<math>m</math> 落在每对端点之间，逐对取等号，中间那一个观测的偏差也为零。因此中位数使总绝对偏差 <math>\sum_i|x_i-m|</math> 最小。把最右端的 90,000 换成更大的数，五个观测的中间位置仍是 3,500；算术均值则使'''平方'''偏差和最小，远端偏差因平方而有更大影响。
 稳健不等于“越不看大值越好”。研究总收入、税基或风险损失时，90,000 元可能正是关键信息，应同时报告总额、分布和尾部；若它是录入错误，应核查源记录，而不是靠截尾公式默默删除。还应结合[[直方图]]或箱线图展示数据形状。